本书主要介绍了勾股定理的 365 种证明方法, 并按证法的类型进行归纳、整理和总结, 让
读者有一个全面而系统的了解.
书中大多数证法用到的知识不超过初中几何的教学范围, 许多证法思路巧妙, 别具一格,
对提高读者的几何素养大有裨益. 本书可以作为广大中学师生和数学爱好者的参考读物.
勾股定理是初等几何中遇到的*个比较重要的定理，该定理是许多后续定理的基础。1977年的高考试题中，有一道题目的内容就是证明勾股定理，出题人是我国著名数学家潘承洞。而勾股定理的证明方法也是多种多样，各有特色，国外已经有学者整理出了该定理的300多个证法，而国内目前列出了近50个证法。本书精选了有代表性的365种证法。这些证法大多只需初中水平，各种思维模式能让读者脑洞大开，挑战思维极限。
勾股定理是初等几何的著名定理之一 .它的内容为直角三角形两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积 .即如果直角三角形两直角边长度分别为 a和 b,斜边长度为 c,那么 a2 b2 = c2.这个定理的内容简洁优美 ,证明方法也是五花八门 ,各式各样 .从古到今 ,无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明 ,得到了很多有趣的证法 .于是就有了一个问题 :勾股定理到底有多少种不同的证明方法 ?这个问题的答案在作者看来是无穷多种 ,比如从本书中介绍的十字分块法就可以得到任意数目的分块方案 ,每个分块方案都可以产生一个证法 .所以这个问题可以转化成 :勾股定理到底有多少种不同的有代表性的证明方法 ?下面是笔者在撰写本书前查找到的一些资料,它们的回答如下:1.美国数学月刊杂志于 18961899年连载了一篇名为 New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem的论文 ,作者为 B. F. Yanney和 J. A. Calderhead,里面介绍了 104种勾股定理的不同证法.
2. E. S. Loomis撰写的 Pythagorean Proposition一书中共提到 367种证明方法 .不过据笔者仔细阅读和研究 ,该书的一些证法其本质上是相同的 ,个别证法甚至存在错误 ,有些证法仅是证明了等腰直角三角形的情形 ,因此不算完整的证明.即便如此,该书中有效的证明方法也接近 300个.
3.由王岳庭、程其坚编著 ,内蒙古人民出版社于 1985年出版的《定理的多种证明公式的多种推导》一书中介绍了勾股定理的 48种证法.
4.进入21世纪以后 ,国外的数学爱好者建立了一个和勾股定理证法相关的网站 (参见文献 [3]).到本书定稿时,该网站已收录了 118种不同的证法.
本书在前人工作的基础上 ,对已有的勾股定理的证法进行整理和改编 ,去粗取精 ,并加入了 56种作者自己发现的证法 .最终本书给出了 365种不同证法.
考虑到不同层次读者的知识水平 ,本书的内容编排尽量遵循从易到难、从特殊到一般的原则 .以分块法开头 ,目的是从一些简单易懂的例子出发 ,让小学生都能动手进行图形的裁剪和拼接 ,加深对这个定理的直观印象 ,由此再演变出割补法和面积法 .对初中生而言 ,面积法和相似法都是可以接受的内容 ,所以一个初中学生经过努力和思考，应该可以看懂书中 2/3的内容 .最后以泛化法结尾 ,把勾股定理的结论一般化 ,符合一般读者的认知规律 .读者在阅读和思考的过程中可以不断地提升自己的数学修养 ,体会数学的抽象之美 .总之一句话 ,不论您是几何初学者还是数学大家,在这 365种证法中,总有一款适合您!需要指出的是 ,虽然本书的内容为勾股定理的各种证明，但本书的主要目的是挑战思维极限，这个极限并不是说去刻意追求证法的数量 ,而是要挑战读者的思考极限 ,能够将平面几何中的常见证明思路结合起来 ,学以致用 ,理解不同定理间的横向联系 ,达到融会贯通的目的 .如果读者在读完本书之后 ,开拓了自己的视野 ,体会到了思考的乐趣 ,甚至能在本书的启发之下得到新的证法 ,这将对读者和作者都是一件很有成就感的事 .这才是挑战自己思维极限的真正体现.本书定稿之前 ,由山西临县一中李有贵老师和哈尔滨师范大学数学科学学院 2014级黄小娟同学进行了仔细阅读和校对 ,修正了很多细节性错误 ,使本书得到了进一步完善 ,在这里向他们表示感谢 .由于笔者水平和精力有限 ,书中的疏漏、错误之处难免 ,敬请广大中学师生和数学爱好者提出宝贵意见.另外由于篇幅所限 ,有些证法只提供了证明的思路 ,省略了部分辅助线的作法及详细证明过程 ,给广大读者留下了无限的思考空间 .欢迎感兴趣的读者就阅读过程中的疑惑、想法、建议及书中的一些不完善之处与作者联系探讨 .作者的邮箱为: lmxin@tom.com,或加入 QQ群:284462481.李迈新2016年 9月
1999年本科毕业于大连理工大学土木工程系,2001年至2002年在大连理工大学软件学院攻读计算机软件双学位。2003年至2007年从事软件开发工作,2007年以后从事软件和数学方面的教育和培训工作。
第1 章分块法......................................................................................
1
1.1 分块对应法.............................................................................
2
1.2 镶嵌法....................................................................................
8
1.3 十字分块法............................................................................12
第2 章割补法.....................................................................................17
第3 章搭桥法.....................................................................................23
第4 章化积为方法.........................................................................38
第5 章等积变换法..............................................................................45
第6 章拼摆法.....................................................................................57
第7 章增积法.....................................................................................78
第8 章消去法.....................................................................................95
8.1 倍积法...................................................................................95
8.2 面积比例法..........................................................................102
第9 章同积法...................................................................................111
第10 章射影法.................................................................................131
10.1 作斜边垂线的证法..............................................................131
10.2 作直角边垂线的证法...........................................................139
第11 章长度法.................................................................................142
第12 章方程法.................................................................................152
第13 章平方差法..............................................................................157
第14 章辅助圆法..............................................................................163
第15 章相似转化法..........................................................................172
第16 章间接证法..............................................................................177
16.1 反证法...............................................................................177
16.2 同一法...............................................................................178
第17 章解析法.................................................................................183
17.1 坐标法...............................................................................183
17.2 参数法...............................................................................191
17.3 三角函数法........................................................................193
第18 章特例法.................................................................................198
第19 章泛化法.................................................................................208
附录A 证法出处汇总.........................................................................232
附录B 勾股定理的365 种证明有用吗？..............................................243
参考文献..............................................................................................246
后记.....................................................................................................
247
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