《计算方法及其应用》主要介绍了数值计算方法的基本理论，内容包括计算方法的基本概念、函数的插值与拟合、数值积分和数值微分、非线性方程的数值解法、解线性方程组的直接法和迭代法、常微分方程的数值解法、矩阵的特征值和特征向量的计算。书中含有丰富的例题、习题和上机实验题。
《计算方法及其应用》可作为数学与应用数学、信息与计算科学、计算机科学与技术专业等本科生计算方法课程的教材或参考书，也可作为理工科研究生数值分析课程的教材或参考书。
主要介绍了数值计算方法的基本理论，书中含有丰富的例题、习题和上机实验，实验内容与理论内容密切结合，有助于读者理解和运用所学的各种算法，提高读者的学习兴趣和应用计算机解决实际问题的能力。《计算方法及其应用》提供了配套的学习课件和习题参考答案，有助于读者自查自学。
前言
在现代科学和工程技术中，经常会遇到大量复杂的数学计算问题，这些问题的求解涉及庞大的计算量，简单的计算工具难以胜任。随着计算机的出现和迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能。利用计算机进行科学计算带来了巨大的经济效益，同时也使科学技术本身发生了根本变化。科学计算作为当今科学研究的三种基本手段之一，是数学将触角伸向其他学科的桥梁，目前科学计算已经广泛应用在物理、化学、生命科学、医学、航空航天、机械制造等重要领域之中。
数值计算方法，简称为计算方法，是学习和了解科学计算的桥梁，是一门实用性很强、应用广泛的数学基础课。 它主要研究适合于计算机使用的求解各种数学问题的数值计算方法，分析各种算法中的数学机理，设计和进行数值实验，分析数值实验中产生的误差，是一门内容丰富、研究方法深刻、有自身理论体系的数学课程。
《计算方法及其应用》主要内容包括函数的插值和拟合、数值积分和数值微分、非线性方程的数值解法、解线性方程组的直接法和迭代法、常微分方程的数值解法、矩阵的特征值和特征向量的计算。其案例丰富，且每章后面都配备了上机实验，实验内容与该章内容密切结合，有助于学生理解和运用所学的各种算法，提高了学生学习兴趣和应用计算机解决实际问题的能力。
《计算方法及其应用》共8章，编写分工如下：第1~6章由王洋编写，第7章由程晓亮编写，第8章由滕飞编写。《计算方法及其应用》在编写过程中广泛参阅了国内外相关教材和资料，在此谨向这些资料的作者表示诚挚的感谢。
限于编者的学识水平，书中不足之处在所难免，恳请读者、同行和专家批评指正。我们期待《计算方法及其应用》能够不断完善，也期待有更优秀的教材面试。
《计算方法及其应用》提供配套课件和习题参考答案，下载地址如下：课件习题参考答案
编者2019年5月
目录
第1章 绪论 1
1.1计算方法的对象、 作用与特点1
1.2数值计算的误差2
1.2.1误差的来源2
1.2.2误差的基本概念3
1.3有效数字4
1.3.1有效数字的定义4
1.3.2有效数字与相对误差的关系5
1.4误差定性分析与避免误差伤害6
1.4.1数值稳定算法7
1.4.2病态问题与良态问题9
1.4.3减少误差的若干原则10
1.5向量和矩阵的范数11
1.5.1向量范数11
1.5.2矩阵范数12
习题14
第2章插值与拟合 16
2.1拉格朗日插值17
2.1.1插值多项式的存在唯一性17
2.1.2拉格朗日插值方法的构造17
2.1.3n次拉格朗日插值多项式19
2.1.4误差估计20
2.1.5上机程序22
2.1.6算法评价23
2.2牛顿插值23
2.2.1多项式的逐次生成23
2.2.2差商及其性质24
2.2.3牛顿插值多项式25
2.2.4上机程序27
2.2.5算法评价28
2.3埃尔米特插值28
2.3.1三次埃尔米特插值多项式29
2.3.22n 1次埃尔米特插值多项式29
2.3.3误差估计31
2.3.4上机程序32
2.3.5算法评价33
2.4分段插值33
2.4.1龙格现象33
2.4.2分段线性插值及误差估计34
2.4.3上机程序36
2.4.4算法评价36
2.5样条插值36
2.5.1三次样条插值的M关系式（三弯矩方程）37
2.5.2三次样条函数的m关系式（三转角方程）39
2.5.3样条插值函数误差估计式41
2.6曲线拟合的最小二乘法41
2.6.1最小二乘法41
2.6.2多项式拟合42
2.6.3非线性拟合43
2.7数值实验45
2.7.1实验目的45
2.7.2实验内容与要求45
2.7.3实验题目48
习题48
第3章数值积分和数值微分50
3.1插值型求积公式51
3.1.1插值型求积公式的构造51
3.1.2求积余项和代数精度51
3.2牛顿-柯特斯积分53
3.2.1梯形积分53
3.2.2辛普森积分54
3.2.3牛顿-柯特斯积分系数55
3.3复化求积公式57
3.3.1复化梯形积分57
3.3.2复化辛普森积分58
3.3.3复合积分的自动控制误差方法60
3.3.4上机程序61
3.4高斯求积公式62
3.4.1一点高斯公式62
3.4.2二点高斯公式62
3.4.3n点高斯公式63
3.5数值微分65
3.5.1差商与数值微分65
3.5.2插值型数值微分66
3.5.3样条插值数值微分公式68
3.5.4上机程序68
3.6上机实验69
3.6.1实验目的69
3.6.2实验内容与要求69
3.6.3实验题目70
习题71
第4章非线性方程的数值解法73
4.1引言73
4.2对分法73
4.2.1对分法的数学依据和算法简述73
4.2.2上机程序74
4.2.3算法评价75
4.3迭代法及其收敛性75
4.3.1不动点迭代格式75
4.3.2不动点迭代格式的收敛性定理77
4.3.3局部收敛性79
4.3.4收敛阶79
4.4牛顿法80
4.4.1牛顿迭代公式的构造81
4.4.2牛顿法的几何意义81
4.4.3牛顿法的收敛性81
4.4.4上机程序82
4.4.5算法评价83
4.5弦截法83
4.5.1弦截法迭代格式83
4.5.2弦截法的几何意义84
4.5.3弦截法的收敛性84
4.5.4上机程序85
4.5.5算法评价85
4.6非线性方程组的牛顿法86
4.6.1二阶非线性方程组的牛顿方法86
4.6.2高阶非线性方程组的牛顿方法87
4.7上机实验89
4.7.1实验目的89
4.7.2实验内容与要求89
4.7.3实验题目91
习题91
第5章解线性方程组的直接法92
5.1引言92
5.2消元法93
5.2.1三角形方程组的解93
5.2.2高斯消去法93
5.3直接分解法99
5.3.1杜利特尔分解99
5.3.2追赶法101
5.3.3平方根法102
5.4直接法的舍入误差分析105
5.5上机实验108
5.5.1实验目的108
5.5.2实验内容与要求108
5.5.3实验题目108
习题109
第6章解线性方程组的迭代法110
6.1引言110
6.2迭代法的一般理论110
6.2.1迭代格式的构造110
6.2.2迭代法的收敛性和误差估计111
6.3雅可比迭代法113
6.3.1雅可比迭代法的构造113
6.3.2雅可比迭代法的收敛条件113
6.3.3雅可比迭代法的误差估计115
6.3.4上机程序116
6.4高斯-塞德尔迭代法117
6.4.1高斯-塞德尔迭代法的构造117
6.4.2高斯-塞德尔迭代法的收敛条件118
6.4.3上机程序119
6.5超松弛迭代法120
6.5.1超松弛迭代法迭代格式的构造120
6.5.2超松弛迭代法的收敛条件120
6.5.3上机程序122
6.6上机实验123
6.6.1实验目的123
6.6.2实验内容与要求123
6.6.3实验题目123
习题123
第7章常微分方程的数值解法125
7.1引言125
7.2欧拉方法126
7.2.1显式欧拉公式126
7.2.2隐式欧拉公式126
7.2.3改进的欧拉公式127
7.2.4欧拉方法的误差估计129
7.2.5上机程序131
7.3龙格-库塔方法131
7.3.1龙格-库塔方法的基本思想131
7.3.2二阶龙格-库塔公式132
7.3.3高阶龙格-库塔公式133
7.4单步法的收敛性与稳定性133
7.4.1收敛性与相容性133
7.4.2稳定性134
7.5线性多步方法137
7.5.1线性多步方法的基本思想137
7.5.2阿当姆斯外插公式及其误差138
7.5.3阿当姆斯内插公式139
7.6一阶微分方程组和高阶微分方程的数值解法140
7.6.1一阶微分方程组的数值解法140
7.6.2高阶常微分方程141
7.6.3算法评价141
7.7上机实验142
7.7.1实验目的142
7.7.2实验内容与要求142
7.7.3实验题目144
习题144
第8章矩阵的特征值和特征向量的计算146
8.1引言146
8.2幂法与反幂法146
8.2.1幂法146
8.2.2反幂法150
8.3雅可比方法151
8.3.1实对称矩阵的旋转正交相似变换151
8.3.2雅可比方法及其收敛性153
习题156
参考文献157
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