本书以离散参数反演理论为对象，在介绍反演理论所需要的编程和基本数学工具基础上，系统讲解了线性反演理论的三种观点，并介绍了非线性反演理论、因子分析和连续反演理论的思想和要点，还讨论了地球物理的典型反问题，以及离散反演理论在地球物理中的应用实例。本书包含十四章，第一章讲述了反问题的基本概念；第二章回顾了即将用到的概率论基础知识；第三章到第七章介绍了高斯统计线性反问题的解法和相关概念；第八章到第十一章介绍了非高斯、非线性和连续反问题的解法。第十二章和第十三章展示了反演理论的应用实例；第十四章为附录。第一章到第十三章的课后习题可以帮助读者理解相关章节的内容，随书附带的网站提供了诸如例题源代码在内的学习支撑材料，可供读者自行操作和练习。
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目录
引言 1
1.1 正演与反演理论 1
1.2 学习反演理论的工具MatLab 3
1.3 MatLab快速入门指南 4
1.4 向量和矩阵的复习及在MatLab中的表示 8
1.5 实用的MatLab操作 16
1.5.1 循环 16
1.5.2 从文件夹中加载数据 17
1.5.3 绘制数据 18
1.5.4 创建包含变量值的字符串 19
参考文献 20
第1章 描述反问题 22
1.1 反问题的公式表示 22
1.1.1 隐式线性形式 23
1.1.2 显式形式 23
1.1.3 显式线性形式 23
1.2 线性反问题 24
1.3 反问题公式化实例24
1.3.1 例1：拟合直线 24
1.3.2 例2：拟合抛物线 26
1.3.3 例3：声学层析成像 26
1.3.4 例4：X射线成像 28
1.3.5 例5：谱曲线拟合 29
1.3.6 例6：因子分析 30
1.4 反问题的解 31
1.4.1 模型参数的估计 31
1.4.2 界限值 32
1.4.3 概率密度函数 32
1.4.4 模型参数的一系列实现 33
1.4.5 模型参数的加权平均 33
1.5 习题 33
参考文献 34
第2章 对概率理论的几点评述 35
2.1 噪声和随机变量 35
2.2 相关的数据 38
2.3 随机变量函数 41
2.4 高斯概率密度函数 45
2.5 高斯统计假设的检验 48
2.6 条件概率密度函数 50
2.7 置信区间 52
2.8 随机变量实现的计算 53
2.9 习题 55
参考文献 56
第3章 线性高斯反问题的解——观点1：长度方法 57
3.1 估计的长度 57
3.2 长度的测量 58
3.3 最小二乘法拟合直线 60
3.4 线性反问题的最小二乘解 61
3.5 一些例子 63
3.5.1 直线问题 63
3.5.2 拟合抛物线 64
3.5.3 拟合一个平面 65
3.6 最小二乘解的存在性 67
3.6.1 欠定问题 67
3.6.2 恰定问题 68
3.6.3 超定问题 69
3.7 纯欠定问题 69
3.8 混定问题 71
3.9 长度的加权量度作为先验信息 72
3.9.1 加权最小二乘 73
3.9.2 加权最小长度 74
3.9.3 加权阻尼最小二乘 74
3.10 其他类型的先验信息 76
3.10.1 例子：直线的约束拟合 77
3.11 模型参数估计的方差 78
3.12 最小二乘解的方差和预测误差 79
3.13 习题 81
参考文献 82
第4章 线性高斯反问题的解——观点2：广义逆 83
4.1 解与算符 83
4.2 数据分辨率矩阵 83
4.3 模型分辨率矩阵 85
4.4 单位协方差矩阵 86
4.5 某些广义逆的分辨率和协方差 87
4.5.1 最小二乘 87
4.5.2 最小长度 88
4.6 分辨率和协方差优度的量度 88
4.7 具有较好分辨率和协方差的广义逆 88
4.7.1 超定情况 89
4.7.2 欠定情况 90
4.7.3 使用狄利克雷展布函数的一般情况 90
4.8 旁瓣和巴克斯-吉尔伯特展布函数 91
4.9 欠定问题的巴克斯-吉尔伯特广义逆 92
4.10 协方差大小的引入 94
4.11 分辨率和协方差的折中 96
4.12 计算分辨率的方法 97
4.13 习题 99
参考文献 99
第5章 线性高斯反问题的解——观点3：最大似然法 100
5.1 一组测量的均值 100
5.2 应用于反问题的最大似然性 102
5.2.1 最简单情况 102
5.2.2 先验分布 103
5.2.3 准确理论的最大似然性解 107
5.2.4 不准确理论 109
5.2.5 线性理论的简单高斯情况 112
5.2.6 一般的线性、高斯情况 113
5.2.7 准确的数据和理论 115
5.2.8 无限不准确的数据和理论 116
5.2.9 没有模型参数先验知识的情况 116
5.3 以相对熵为指导原则求解反问题 116
5.4 三种观点的等效 118
5.5 误差改善的显著程度的F检验 118
5.6 习题 121
参考文献 122
第6章 非唯一性和局部平均 123
6.1 零向量和非唯一性 123
6.2 简单反问题的零向量 124
6.3 模型参数的局部平均 124
6.4 与分辨率矩阵的关系 125
6.5 平均与估计 126
6.6 非唯—平均向量和先验信息 126
6.7 习题 129
参考文献 129
第7章 向量空间的应用 130
7.1 模型空间和数据空间 130
7.2 豪斯霍尔德变换 131
7.3 豪斯霍尔德变换的设计 134
7.4 引起长度变化的变换 135
7.5 混定问题的解 137
7.6 奇异值分解和自然广义逆 138
7.7 奇异值分解的导出 143
7.8 简化线性等式和不等式约束 144
7.8.1 线性等式约束 144
7.8.2 线性不等式约束 144
7.9 不等式约束 145
7.10 习题 151
参考文献 152
第8章 线性反问题和非高斯统计 153
8.1 L1范数和指数概率密度函数 153
8.2 指数概率密度函数均值的最大似然估计 154
8.3 广义线性问题 156
8.4 L1范数问题的求解 157
8.5 L∞范数 160
8.6 习题 163
参考文献 163
第9章 非线性反问题 164
9.1 参数化 164
9.2 线性化变换 166
9.3 非线性反问题中的误差和似然性 167
9.4 格点搜索法 168
9.5 蒙特卡罗搜索 170
9.6 牛顿法 172
9.7 高斯数据的隐式非线性反问题 176
9.8 梯度法 179
9.9 模拟退火 180
9.10 为不精确非高斯非线性理论选择零分布 183
9.11 自助法置信区间 184
9.12 习题 186
参考文献 186
第10章 因子分析 187
10.1 因子分析问题 187
10.2 归一化和物质约束 192
10.3 Q-模式和R-模式因子分析 196
10.4 经验正交函数分析 197
10.5 习题 201
参考文献 202
第11章 连续反演理论与层析成像 203
11.1 巴克斯-基尔伯特反问题 203
11.2 分辨率和方差的折中 204
11.3 将连续反问题近似为离散问题 205
11.4 层析成像与连续反演理论 206
11.5 层析成像与拉东变换 207
11.6 傅里叶切片定理 208
11.7 矩阵和线性算子之间的对应关系 209
11.8 弗雷歇导数 212
11.9 误差的弗雷歇导数 213
11.10 反投影 215
11.11 涉及微分方程的弗雷歇导数 217
11.12 习题 221
参考文献 222
第12章 反问题举例223
12.1 图像增强问题 223
12.2 数字滤波器的设计 226
12.3 交叉误差的校正 228
12.4 声学层析成像问题 231
12.5 一维温度分布 233
12.6 直线的L1、L2和L∞拟合 236
12.7 寻找单位向量系列的均值 237
12.8 高斯型和洛伦兹型曲线拟合 240
12.9 地震定位 242
12.10 振动问题 245
12.11 习题 248
参考文献 248
第13章 反演理论在固体地球物理学中的应用 249
13.1 基于旅行时数据的地震定位和地球速度结构计算 249
13.2 地震矩张量 252
13.3 波形层析成像 253
13.4 基于自由振荡和地震面波得到速度结构 255
13.5 地震衰减 256
13.6 信号关联 257
13.7 构造板片的运动 257
13.8 重力和地磁 258
13.9 电磁感应和大地电磁方法 259
参考文献 259
附录 263
索引 266
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