高等数学习题与解析（上册）

定　　价：52 元

• 作者：任雪昆著
• 出版时间：2022/2/1
• ISBN：9787121426438
• 出 版 社：电子工业出版社

• 中图法分类：O13-44 
• 页码：232
• 版次：01
• 开本：16开

内容简介

本书以全国硕士研究生招生考试数学考试大纲为依据，精讲了高等数学中的重要知识点，同时配备了相应的例题和习题。全书共11 章，分上、下两册，每章都由知识点提要、例题与方法、习题三部分组成。 其中，知识点提要部分精讲了每章的重要知识点；例题与方法、习题部分包含历年考研真题和相似类型的练习题，便于学生练习和巩固。

作者介绍

任雪昆，哈尔滨工业大学数学学院副教授，硕导，博士毕业于哈尔滨工业大学基础数学专业，研究领域为模糊分析学，获得多项国家自然科学基金项目。

目 录

第1 章 函数????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．1．1 函数的概念??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．1．2 具有特殊性质的函数????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．2 例题与方法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2
1．2．1 函数定义域的确定及函数关系符号的使用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2
1．2．2 函数性质的鉴别????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3
1．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4
第2 章 极限与连续??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8
2．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8
2．1．1 极限、连续、间断点的概念及其等价概念????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8
2．1．2 无穷小????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
2．1．3 极限和连续的性质??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
2．1．4 闭区间上连续函数的三个原理??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
2．2 例题与方法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
2．2．1 极限的计算??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
2．2．2 函数连续性与间断点的鉴别????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????19
2．2．3 闭区间上连续函数的三个原理的应用??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????20
2．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????21
第3 章 导数与微分??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????28
3．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????28
3．1．1 导数与微分的概念、关系及实际意义??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????28
3．1．2 导数公式????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????29
3．2 例题与方法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????30
3．2．1 导数与微分的计算??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????30
3．2．2 导数意义的应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????37
3．2．3 微分与近似计算????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????39
3．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????40
第4 章 中值定理及导数应用??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????45
4．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????45
4．1．1 微分中值定理及推论????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????45
4．1．2 应用定理????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????46
4．1．3 应用公式????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????47
4．2 例题与方法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????48
4．2．1 函数性质????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????48
4．2．2 利用中值定理求极限和高阶导数??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????52
4．2．3 方程根的存在性及个数??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????53
4．2．4 不等式的证明????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????54
4．2．5 微分中值定理的证明????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????55
4．2．6 恒等式的证明????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????59
4．2．7 中值定理的中间值极限问题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????59
4．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????60
第5 章 不定积分????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????66
5．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????66
5．1．1 原函数与不定积分的概念??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????66
5．1．2 不定积分的性质????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????66
5．1．3 不定积分基本公式??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????66
5．1．4 原函数的存在性????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????67
5．1．5 不定积分的计算????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????67
5．2 例题与方法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????68
5．2．1 第一换元积分法（凑微分法）??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????68
5．2．2 分部积分法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????70
5．2．3 第二换元积分法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????72
5．2．4 有理真分式的积分??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????74
5．2．5 三角有理式的积分??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????75
5．2．6 无理函数的积分????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????75
5．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????76
第6 章 定积分及反常积分??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????79
6．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????79
6．1．1 定积分的定义和几何意义??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????79
6．1．2 定积分的性质????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????80
6．1．3 定积分存在的条件??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????81
6．1．4 微积分基本定理????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????81
6．1．5 定积分的计算????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????82
6．1．6 反常积分（或广义积分） ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????83
6．1．7 定积分的应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????84
6．2 例题与方法??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????86
6．2．1 定积分的概念、性质及几何意义??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????86
6．2．2 定积分的计算????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????88
6．2．3 变限积分函数及其应用??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????93
6．2．4 定积分的证明????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????96
6．2．5 反常积分????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????98
6．2．6 定积分的应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????99
6．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????104
第7 章 微分方程????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
7．1 知识点提要??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
7．1．1 微分方程的基本概念????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
7．1．2 一阶微分方程????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????109
7．1．3 高阶微分方程的几种特殊类型????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．112
7．1．4 n 阶线性微分方程??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．112
7．2 例题与方法????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．114
7．2．1 一阶微分方程??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．114
7．2．2 高阶微分方程的几种特殊类型??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????121
7．2．3 n 阶线性微分方程????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????123
7．2．4 微分方程的应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????132
7．3 习题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????137
习题解析????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????142
第1 章 函数习题解析????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????142
第2 章 极限与连续习题解析??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????145
第3 章 导数与微分习题解析??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????158
第4 章 中值定理及导数应用习题解析??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????164
第5 章 不定积分习题解析??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????183
第6 章 定积分及反常积分习题解析??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????190
第7 章 微分方程习题解析??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????204