本书以工程环境下的岩石为主要研究对象，同时还涉及其他岩土类材料，如土体等地质材料和混凝土等工程材料。岩石强度理论是一个复杂的科学问题，建立科学合理的强度理论，对岩土工程设计、矿山与能源开采、地下能源存储及核废料处置等领域的研究具有重要意义。如何将建立的强度理论转化为计算机可以执行的计算程序，涉及本构模型的建立，以及如何将本构模型程序化的问题。弹塑性本构积分算法在数值求解过程中至关重要，直接影响计算的精度和稳定性。随着岩石断裂、损伤理论的发展，基于损伤理论建立起来的本构模型受到越来越多的关注。本书围绕岩石强度、弹塑性本构模型、弹塑性损伤本构模型、弹塑性本构积分算法以及弹塑性断裂准则等展开，形成从强度理论提出到复杂本构模型建立，再到计算机程序实施全过程的一整套研究体系。 本书可为岩石力学与工程相关领域的研究人员、工程技术人员和高等院校师生提供参考。
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前言
第1章 绪论
1.1 研究背景与意义
1.2 岩石强度理论研究
1.2.1 强度理论分类
1.2.2 强度理论研展
1.2.3 强度理论未来发展方向
1.3 岩石弹塑性本构关系研究
1.3.1 本构关系分类
1.3.2 本构特性
1.3.3 塑性力学基本特点
1.4 岩石弹塑性断裂本构模型研究
1.5 岩石弹塑性损伤本构模型研究
1.6 弹塑性本构积分算法
1.7 本书主要研究内容
参考文献
第2章 岩石弹塑性本构理论
2.1 引言
2.2 张量与下标记法
2.2.1 张量及张量的阶
2.2.2 张量的下标记法
2.3 空间应力状态
2.3.1 一点的应力状态
2.3.2 斜面上的应力与主应力
2.3.3面问题中的主应力
2.3.4 应力张量分解及不变量
2.3.5 八面体应力
2.3.6 主应力空间与面
2.4 空间应
2.4.1 应
2.4.2 应变张量分解
2.4.3 八面体剪应变与应变空间
2.5 应力路径与应变路径
2.5.1 应力路径
2.5.2 应变路径
2.5.3 应力路径与应变路径的比较
2.6 弹塑性本构关系
2.6.1 连续介质模型
2.6.2 几何方程衡条件
2.6.3 弹性本构关系
2.6.4 塑性本构关系
2.7 塑性公设
2.7.1 稳定性材料与不稳定性材料
2.7.2 Drucker公设
2.7.3 屈服面或加载面处处外凸
2.7.4 塑性应变增量矢量的正交性
2.7.5 dεpij与dσpij的线性相关性
2.7.6 Илъющин公设
参考文献
第3章 岩石压缩试验与双τ2和双T2强度理论
3.1 引言
3.2 单轴压缩试验
3.2.1 试件制备及试验设备
3.2.2 试验方法
3.2.3 试验结果及分析
3.2.4 破坏机制及损伤断裂分析
3.3 三轴压缩试验
3.4 岩石屈服准则与破坏准则
3.4.1 屈服条件、加载条件与破坏条件
3.4.2 屈服曲面、加载曲面与破坏曲面
3.4.3 面上屈服曲线的性质
3.4.4 屈服与破坏特性
3.5 双τ2强度理论
3.5.1 双τ2强度理论表达式
3.5.2 屈服曲线
3.5.3 双τ2强度理论统一表达式
3.5.4 强度条件
3.6 双T2强度理论
3.6.1 双T2强度理论表达式
3.6.2 屈服曲线
3.6.3 与的关系
3.6.4 双T2强度理论统一表达式
3.6.5 强度条件
参考文献
第4章 广义多参数双τ2和双T2强度理论及其应用
4.1 引言
4.2 广义两参数双τ2强度理论
4.2.1 双τ2强度理论表达式
4.2.2 双轴应力状态分析
4.2.3 剪压或剪拉应力状态分析
4.2.4 中间主应力效应
4.3 广义两参数双T2强度理论
4.3.1 两参数双T2强度理论表达式
4.3.2 σ1＞σ2=σ3应力状态
4.3.3 σ1=σ2＞σ3＞0应力状态
4.3.4 σ3=0的双轴应力状态
4.3.5 σ1＞0，σ2＞0，σ3＞0的三轴应力状态
4.3.6 理论与试验数据比较
4.4 广义三参数双τ2强度理论及应用
4.4.1 广义三参数双τ2强度理论表达式
4.4.2 三轴挤压应力状态分析
4.4.3 三轴挤伸应力状态分析
4.4.4 双轴受压应力状态分析
4.4.5 三轴受压应力状态分析
4.4.6 σ-τ复合应力状态分析
4.5 广义三参数双τ2强度理论厚壁圆筒极限压力分析
4.6 广义三参数双T2强度理论及应用
4.6.1 三参数双T2强度理论表达式
4.6.2 极限迹线与极限面
4.6.3 复杂应力状态下三参数双T2强度表达式
4.6.4 理论与试验数据比较
参考文献
第5章 弹塑性本构积分算法及本构方程求解程序实施
5.1 引言
5.2 弹塑性本构关系及矩阵
5.2.1 基本条件
5.2.2 弹塑性本构关系
5.2.3 弹塑性刚度矩阵的几何意义与物理意义
5.2.4 弹塑性本构关系矩阵
5.3 弹塑性问题有限元法求解
5.3.1 增量步内的非线性方程组
5.3.2 非线性方程组的迭代求解
5.3.3 求解稳定材料有限元法流程和荷载增量法
5.3.4 求解不稳定材料弹塑性问题的弧长法
5.4 弹塑性本构积分算法
5.4.1 一般弹塑性本构方程
5.4.2 隐式返回映射算法
5.4.3 一致切线模量
5.5 基于von Mises本构模型的求解程序
5.5.1 von Mises模型的一致切线模量
5.5.2 各向同性非线性应变硬化
5.5.3 算例验证
5.6 基于Drucker-Prager本构模型的隐式返回映射算法及求解程序
5.6.1 基于Drucker-Prager本构模型的隐式返回映射算法
5.6.2 程序开发流程
5.6.3 地基问题的求解
5.6.4 边坡问题的求解
5.7 岩石应变软化本构模型建立与NR-AL求解方法
5.7.1 岩石应力-应变全过程关系
5.7.2 应变软化本构模型建立
5.7.3 NR-AL求解方法建立
5.7.4 数值计算及验证
参考文献
第6章 广义双τ2和双T2弹塑性
第1章 绪论
1.1 研究背景与意义
岩石强度理论是研究材料在复杂应力状态下发生屈服或破坏规律的科学，是一门重要的基础理论，其发展已有一个多世纪的历史。关于材料强度，通常有强度准则与强度理论两种提法。材料强度的数学模型是对试验数据拟合，或者是基于对强度规律的认识给出的数学表达式，通常称为强度准则。强度准则的共同特点是没有用于解释材料破坏机制的物理模型，准则中的参数一般没有明确的物理意义。材料强度的物理模型是基于材料破坏的某种观点，形成力学分析模型而获得描述材料强度规律的数学表达式，通常称为强度理论。强度理论中的材料参数一般具有清晰的物理含义[1]。强度理含描述塑性变形的屈服准则和描述破坏的强度准则。
由于数值计算方法的迅速发展和普遍推广，对描述材料性能的本构理论也提出了更高的要求。本构理论主要是指本构模型，本构模型通常指材料在力作用下的变形响应，即应力-应变关系。随着材料应力-应变关系研究的发展，认识到材料的强度是其应力-应变曲线的一个特殊阶段，因此强度理论可纳入本构模型中，成为本构模型的一个组成部分。而将本构模型数值化实施过程的核心问题是本构积分算法，对本构方行积分的数值算法称为本构积分算法或者应力更新算法。本构积分算法是弹塑性有限元计算的关键，一般分为显式积分算法和隐式积分算法，它直接影响到计算结果的性和稳定性。
《2016—2017岩石力学与岩石工程学科发展报告》中指出[2]年来，我国经济飞速发展，岩石工程项目大规模兴建，在水库大坝、铁路隧道、跨江(海)桥隧等重大工程项目以及地下采矿工程、人防工程及地下空间利用方面的快速发展，了科技工作者对岩石强度的持续研究，是岩土工程领域研究的热点问题。由于岩石大多处于复杂应力状态下，强度理论研究对材料力学、塑性力学、岩土力学及各种工程应用都具有十分重要的意义。此外，采用合理的强度理论，又能更好地发挥材料的，减轻结构重量，取得较好的经济效益以及节约能源等综合效益。因此，关于该问题的研究不仅具有学术价值，而且由于它更好地发挥材料的潜力，更具有重要的实践意义和经济效益。
21世纪是一个创新的世纪、知识经济的世纪。创新并不意味着简单的发明、发现和创造，而是要在新理论、新技术、新工艺的基础上出现新的生产体系和模式，形的生产力，从而真正体现出科学技术是生产力的真理。目前，国际上已经提出多种强度理论，但都存在一些局限性或缺陷[1]。例如，有的理论适用于金属材料，而不适于岩石、混凝土等脆性材料；有的理论只考虑大、小主应力的影响而忽略中间主应力等。关于岩石强度理论的研究也逐渐从古典强度理论、广义强度理论等经典强度理论发展到将弹塑性力学、断裂力学、损伤力学考去的强度理论，建立相应的弹塑性损伤本构模型、断裂本构模型及本构积分算法，从宏观唯象研究发展到跨尺度多层次的理性研究是值得深入思考的问题。
1.2 岩石强度理论研究
目前对岩石强度特性的认识以及对强度规律的描述还是有限的，尚不能统一合理地解释各种不同类型材料的破坏机理。世界各国学者曾经提出过众多的强度理论，行了大量的试验验证，这些强度理论都是各自提出的，立足于不同的假设，适用的条件各不相同，存在着许多问题，如考虑的情况较为简单、与工程实际差距较大、缺乏内在联系等。1985年，俞茂宏性地提出了双剪强度理论，在强度理论方面做了大量的研究工作。他指出强度理论是一个独*和奇妙的研究主题结了强度理论具有以下特点[3-6]：①简单而复杂；②古老而年轻；③学科交叉综合；④研究众多展缓慢；⑤百家争鸣景象繁荣。
岩石强度理论是涉及领域广泛的交叉性学科，这些领括物理学、力学、材料学、地球科学、土木工程等，关于它的研究是世界性的难题。尤其是20世纪80年代以来，材料本构关系成为有关工程学科和力学学科的研究热点。计算机的推广和应用，促使岩石强度理论出现新展。下文按照三个方面对岩石强度理论、岩石塑性本构关系和岩石弹塑性断裂与损伤本构模行论述。
1.2.1 强度理论分类
关于强度理论的主题，已有一些综述性的论文和专著，如Yu[7]、沈珠江[8]、Chen[9]等的成果，对数以百计的强度模型或准则归纳分类是十分困难的。Yu[7]给出了以下几种不同的分类方法：①按时间先后分类，可分为强度理论，即*大拉应力理论；第二强度理论，即*大拉应变理论；第三强度理论，即单剪强度理论；第四强度理论，即八面体剪应力强度理论或三剪强度理论；第五强度理论，即双剪强度理论。②按照参数的数量分类，可分为单参数、双参数、三参数、四参数、五参数等强度理论。③按剪应力分类，可分为单剪强度理论、双剪强度理论和三剪强度理论。④按方程的线性与非线性分类，可分为线性方程表示的强度理论和非线性方程表示的强度理论。⑤按强度理论的工程分类，可分为单一强度理论和统一强度理论。
线性强度理论的数学表达式为一次线性方程，它在面及子午面上的破坏曲线为直线或分段直线，线性强度理论较少，只有、第二强度理论及作为上下限的单剪强度理论(Tresca、Mohr-Coulomb屈服准则)和双剪强度理论。非线性强度理论，它在面及子午面上的破坏曲线均为连续光滑的曲线，现有的强度理论中大多数为非线性强度理论，如岩石材料的Hoek-Brown屈服准则[10，11]、Wiebols-Cook准则[12]、Mogi准则[13，14]等，土体材料的SMP(spatial mobilized ne)准则* [15，16]、Lade准则[17，18]、沈珠江准则[19]等，混凝土材料的Willam-Warnke准则* [20]、过镇海-王传志准则[21]、宋玉普-赵国潘准则[22]等，金属材料的Mises屈服准则等。非线性强度理论大多数考虑了中间主应力的影响，可以比较合理地描述材料的屈服和破坏特性，也便于与本构模型结合，方便用于荷载变形分析。
然而，现有的线性强度理论和非线性强度理论多为只适用于某一类特定材料的单一强度理论[23]，建立一括以往的岩土类材料强度的、适用于多种材料在不同条件下的统一强度理论具有广泛的实用价值。与此同时，随着基础科学及计算机科学的飞速发展，岩土类材料强度研究的新思维、新方法不断涌现，统一的数值计算方法成为强度理论的一个发展方向。
1.2.2 强度理论研展
关于强度理论的研究，可以上溯到20世纪以前。公元15世纪，Leonardo da Vinci和Galileo Galilei分行了铁丝和石料的拉伸试验，提出了*大拉应力理论的思想雏形。17世纪，Mariotte论述了*大拉应变准则的思想。Coulomb根据砂岩强度试验，阐述了*大剪应力理论，并对梁的弯曲、棱柱体的压缩，以及挡土墙和拱的稳定行了讨论。1856年，Maxwell首先讨论了形状改变比能与单元破坏的关系，后来经过Beltrami的研究发展，于1885年提出了形状比能理论的雏形。以上关于强度的认识尽管相当直观，但其中的朴素观点对后来有关强度理论的建立起到了很大的启蒙作用。经过Lame、Rankine、Saint-venant、Poncelet、Foppl、Voigt、Mohr、Guest等科学家与工程师的努力，到1纪末，、第二、第三、第四强度理论先后建立[24，25]。
1. 强度理论(又称为*大拉应力理论)
当材料承受的任一方向主拉应力达到一极限值时发生破坏，其表达式为
(1.1)
式中，为拉伸强度。
破坏面为在主应力坐标的正方向，与坐标行且相距的三个相互垂直面，组成以静水压力轴为中心的正直角锥。它是材料强度研究领域*早出现的一个理论，虽然是对金属疲劳研究得出的，但作为材料研究领域的个理论，对岩石强度理论研究也具有重要影响。
2. 第二强度理论(又称为*大拉应变理论)
当材料某一方向的*大拉应变达到一极限值时发生破坏，其表达式为
(1.2)
或
(1.3)
破坏面为以静水压力轴为中心的角锥，顶点位于坐标原点，锥顶夹角小于90°。在试验和工程实践中，*大拉应力理论和*大拉应变理论被证明有种种不足和缺陷。因此，学者和工程师又将眼光转向其他方向，*大剪应力理论应运而生。
3. 第三强度理论(又称为*大剪应力理论)
当材料承受的*大剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为
(1.4)
破坏面是以静水压力轴为中心的正六角棱柱面，表面不连续、不光滑络面在拉、压端均开口，且无交点，且拉、压子午线相同。
4. 第四强度理论(又称为*大形状改变比能理论)
当材料的统均剪应力或八面体剪应力达到一极限值时发生屈服，其表达式为
(1.5)
破坏面是以静水压力轴为中心的圆柱面，表面连续、光滑，是对*大剪应力理论的。第四强度理论更适合于软钢类塑性材料，在塑性力学中应用*广，也称为能量理论，因为单元体的形状变化是与剪切和剪应力密切联系的。
这四个强度理论称为古典强度理论，对于材料破坏的原因有明确的理论观点，概念明确，表达式简单，参数少且易于确定，但只能适用于特定材料的特定受力状态，一般认为、第二强度理论常应用于脆性材料，第三、第四强度理论则应用于塑性材料。主要采用唯象的试验方法，研究者主要依靠经验，所以结果仅适用于简单应力状态，难以反映复杂应力状态下岩石等材料强度的变化规律。因此，研究者借助的试验测试手段和数学分析方法，建立了诸多广义强度准则及理论[25]。
5. Mohr-Coulomb强度理论
在岩土工程问题分析中，Mohr-Coulomb强度理论(图1.1)在20世纪占统治地位，但该理论*大的缺点是没有考虑中间主应力的影响，中间主应力对岩石强度的影响是存在的100年来，对Mohr-Coulomb强度理论没有考虑中间主应力的不行了大量的研究。Mohr-Coulomb强度理论是各种强度理论中历史*久、研究*多、应用*广，也是被争论*多的一个强度理论。1773年，科学家和工程师Coulomb提出一个有关土体强度的定律，他认为岩土类材料受力面上的极限抗剪强度是该面上正应力的函数，其表达式为
(1.6)
式中，为材料极限抗剪强度；c为材料的黏聚力；为材料的内摩擦角；为剪切面上的正应力。
图1.1 Mohr-Coulomb屈服准则的屈服面
拉伸强度极限、压缩强度极限和黏聚力c、内摩擦角以及参数*之间的关系为
(1.7)
或
(1.8)
因此，根据不同的情况，Mohr-Coulomb强度理论可以有各种不同的表达形式，剪应力形式为
(1.9)
6. Drucker-Prager屈服准则
为了克服Mohr-Coulomb强度理论没有考虑中间主应力效应的不足，1952年Drucker和Prager提出了考虑静水压力影响的广义Mises屈服准则，常称为Drucker-Prager屈服准则(图1.2)，其表达式为
(1.10)
或
(1.11)
(1.12)
式中，*和k为Drucker-Prager屈服准则材料常数。
图1.2 Drucker-Prager屈服准则的屈服面
按面应变条件下的应力和塑性变形条件，Drucker和Prager导出了、k与Mohr-Coulomb屈服准则的材料常数c、之间的关系，即
……
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