高等数学（上册）_杨有龙_9787560662787_安徽万品图书经营有限公司

本书是西安电子科技大学高等数学教学团队核心成员进行线上线下混合式教学改革的成果，分上、下两册出版. 上册内容包括: 函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理及导数的应用，不定积分，定积分，定积分的应用以及微分方程. 本书在保持高等数学内容系统性和完整性的基础上，突出问题驱动，通过一些带有实际背景的典型例子或问题引出高等数学的基本概念，并用直观的语言解释数学符号，在提高学生学习兴趣的同时，培养学生运用高等数学知识解决实际问题的能力. 在习题的选配上，每节分为基础题、提高题两类，每章末都编排了总习题. 同时本书还配置了有效的数字化资源，包括知识图谱、教学目标、思考题、相关定理证明、习题参考答案等，读者可通过扫描二维码的方式获取相应的资源. 本书可作为高等院校理工科各专业高等数学课程的教材，也可作为相关专业学生考研的参考资料，还可供相关工程技术人员和广大教师参考.

高等数学不仅是学习其他自然科学和工程技术的重要基础和工具，而且是培养和训练学生逻辑推理和理性思维的重要载体. 高等数学的教学对大学生全面素质的提高、分析能力的加强和创新意识的启迪都至关重要. 本书既可作为理工科各专业学生学习高等数学的教材，又可作为他们参加数学竞赛和备考研究生的复习资料. 每章均包括知识图谱、教学目标、基本内容、典型例题以及知识延展五部分内容. 本书在经典的微积分内容中加入问题驱动，力求在释疑解惑中渗透现代数学的思想与方法. 全书纸质内容与数字化资源一体化设计，紧密配合，使学生能够更加深入、细致地理解高等数学的基本概念、基本理论和基本方法. 同时知识延展部分为学有余力的学生提供了深入探讨微积分进阶内容的平台. 本书旨在为线上线下混合式教学提供有效的教学资源与参考，为理工科大学生的高等数学自主学习提供同步辅导. 本书共十二章，分上、下两册出版，上册内容包括函数、极限与连续，导数与微分，微分中值定理及导数的应用，不定积分，定积分，定积分的应用与微分方程，共七章. 本书由杨有龙教授主持立项、整体把控，张丽副教授具体协调，参与撰写本书的核心成员均是教学一线经验丰富的高等数学教师. 第一章由杨有龙、田阗负责，前期参与的还有李宏; 第二章由陈慧婵负责，前期参与的还有武燕; 第三章由张丽负责，前期参与的还有吴婷; 第四章由吴艳负责，前期参与的还有冯晓慧; 第五章由柴华岳负责，前期参与的还有郭晓峰、宋宜美; 第六章由李菊娥负责，前期参与的还有董小娟; 第七章由杨有龙负责，前期参与的还有张丽、田阗、柴华岳、陈慧婵、李菊娥、吴艳. 本书在编写过程中得到了西安电子科技大学数学与统计学院领导和广大高等数学教师的热情支持，他们对本书的编写提出了许多宝贵的建议和修改意见，长期致力于高等数学教学和研究的老教师们给予了鼓励和支持，编者在此致以深深的谢意. 本书获西安电子科技大学本科教材立项资助，并得到西安电子科技大学出版社领导及编辑的大力支持，编者在此一并表示感谢. 由于编者水平有限，书中难免存在不妥之处，恳请读者批评指正，以便再版时及时更正. 编者 2021年9月

第一章函数、极限与连续 1 第一节函数 1 一、函数的概念 1 二、函数的几种特性 3 三、反函数与复合函数 5 四、函数的运算 6 五、初等函数 7 习题1-1 7 第二节数列的极限 8 一、数列极限的定义 9 二、数列极限的几何意义 12 三、收敛数列的性质 13 习题1-2 15 第三节数列极限的四则运算法则与极限存在准则 16 一、数列极限的四则运算法则 16 二、数列极限的存在准则 19 习题1-3 25 第四节函数的极限 26 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 26 二、自变量趋于有限值时函数的极限 27 三、单侧极限 30 四、函数极限的性质 30 五、函数极限与数列极限的关系 31 习题1-4 32 第五节函数极限的运算法则和两个重要极限 33 一、函数极限的四则运算法则 33 二、复合函数的极限运算法则 35 三、函数极限存在准则 36 四、两个重要极限 37 习题1-5 39 第六节无穷小与无穷大 40 一、无穷小 40 二、无穷大 42 三、无穷小的比较 45 习题1-6 48 第七节函数的连续性与间断点 49 一、函数连续性的定义 49 二、函数的间断点及其分类 51 习题1-7 55 第八节连续函数的运算与初等函数的连续性 56 一、连续函数的性质 56 二、初等函数的连续性 58 习题1-8 61 第九节闭区间上连续函数的性质 62 一、有界性与最大值最小值定理 62 二、零点定理与介值定理 63 三、知识延展——一致连续性 65 习题1-9 67 总习题一 68 第二章导数与微分 70 第一节导数概念 70 一、引例 70 二、导数的定义 71 三、求导举例 74 四、函数可导性与连续性的关系 77 五、变化率模型 78 六、知识延展——分段函数在分界点处可导性的判定 80 习题2-1 83 第二节函数的求导法则 86 一、四则运算求导法则 86 二、反函数的求导法则 89 三、复合函数的求导法则 91 四、基本导数公式与求导法则 95 五、知识延展——几类函数的导数 96 习题2-2 97 第三节高阶导数 99 一、高阶导数的概念 99 二、高阶导数的运算法则 102 三、知识延展——高阶导数的计算方法 104 习题2-3 106 第四节隐函数的导数 107 一、隐函数的定义及求导方法 107 二、对数求导法 111 三、隐函数的常用求导方法小结 113 习题2-4 114 第五节由参数方程所确定的函数的导数与相关变化率 115 一、由参数方程所确定的函数的导数 115 二、相关变化率 123 习题2-5 126 第六节函数的微分 127 一、微分的定义 127 二、可微与可导的关系 128 三、微分的几何意义 130 四、基本初等函数的微分公式及微分运算法则 130 五、微分在近似计算中的应用 134 六、知识延展——高阶微分 136 习题2-6 138 总习题二 140 第三章微分中值定理及导数的应用 143 第一节微分中值定理及其应用 143 一、罗尔定理 143 二、拉格朗日中值定理 146 三、柯西中值定理 148 四、知识延展——广义罗尔定理 150 五、高阶挑战——达布定理 152 习题3-1 152 第二节泰勒中值定理及其应用 155 一、泰勒多项式 155 二、泰勒中值定理 156 三、麦克劳林公式 158 四、近似计算 162 五、知识延展——泰勒公式的应用 163 习题3-2 167 第三节洛必达法则 169 一、00型未定式 169 二、∞∞型未定式 173 三、其他类型未定式 175 四、知识延展——广义洛必达法则 182 习题3-3 183 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 185 一、函数单调性的判定法 185 二、曲线的凹凸性与拐点 188 三、知识延展——凸函数的几种定义 192 习题3-4 194 第五节函数的极值与最值 195 一、函数的极值及其求法 196 二、最大值最小值问题 200 三、知识延展——定理3.5.3的推广 201 习题3-5 202 第六节函数图形的描绘 203 一、曲线的渐近线 203 二、函数图形的描绘 204 习题3-6 206 第七节曲率 207 一、曲率的概念 207 二、曲率的计算公式 209 三、曲率圆与曲率半径 212 四、知识延展——弧微分公式 214 习题3-7 215 总习题三 216 第四章不定积分 219 第一节不定积分的概念与性质 219 一、原函数与不定积分的概念 219 二、基本积分表 221 三、不定积分的性质 222 四、知识延展——不连续函数的原函数 224 习题4-1 225 第二节第一类换元法 225 一、第一类换元法 226 二、知识延展——含有抽象函数的不定积分 234 习题4-2 235 第三节第二类换元法 236 习题4-3 243 第四节分部积分法 244 一、分部积分法 244 二、知识延展——推广的分部积分法 248 习题4-4 250 第五节有理函数及可化为有理函数的不定积分 252 一、有理函数的不定积分 252 二、知识延展——奥斯特洛格拉得斯基方法 258 三、三角函数有理式的不定积分 259 四、杂例 262 习题4-5 266 总习题四 267 第五章定积分 269 第一节定积分的概念与性质 269 一、引例 269 二、定积分的定义 270 三、定积分的存在条件 271 四、定积分的几何意义 272 五、定积分的性质 272 六、知识延展——定积分的进一步性质 273 习题51 274 第二节定积分的计算 275 一、利用数列极限计算定积分 275 二、利用定积分的几何意义计算定积分 276 三、利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分 277 四、知识延展——定理5.2.1的更一般的表述 278 习题52 279 第三节定积分的换元积分法和分部积分法 279 一、定积分的换元积分法 279 二、定积分的分部积分法 281 三、知识延展——定积分的换元积分法和分部积分法的使用注意事项 282 习题53 283 第四节积分上限的函数 284 一、积分上限的函数 284 二、积分上限函数的连续性 285 三、积分上限函数的可导性 286 四、知识延展——积分上限函数的相关结论 288 习题54 289 第五节反常积分 290 一、问题提出 290 二、无穷限的反常积分 292 三、无界函数的反常积分 294 四、知识延展——反常积分的审敛法与 Γ函数 297 习题55 302 第六节定积分相关综合问题 303 一、常用结论 303 二、含参数的积分的极限问题 310 三、积分不等式的证明 312 习题56 315 总习题五 316 第六章定积分的应用 318 第一节定积分的元素法 318 第二节定积分在几何学上的应用 320 一、平面图形的面积 320 二、立体的体积 325 三、平面曲线的弧长 331 四、知识延展——旋转曲面的面积 333 习题6-2 335 第三节定积分在物理学上的应用 336 一、变力沿直线所做的功 337 二、水压力 339 三、引力 342 习题6-3 343 总习题六 345 第七章微分方程 347 第一节微分方程的基本概念 347 一、微分方程的基本概念 347 二、知识延展——微分方程建模 351 习题7-1 353 第二节可分离变量的微分方程 354 一、可分离变量的微分方程的定义 354 二、可分离变量的微分方程的解法 354 三、知识延展——变量代换法求解微分方程 357 习题7-2 358 第三节齐次方程 359 一、齐次方程的定义 359 二、齐次方程的解法 360 三、知识延展——可化为齐次的方程 362 习题7-3 363 第四节一阶线性微分方程 364 一、线性方程 364 二、伯努利方程 367 三、知识延展——两种类型一阶隐式方程的解法 369 习题7-4 371 第五节可降阶的高阶微分方程 372 一、y(n)=f(x)型的微分方程 372 二、y″=f(x, y′)型的微分方程 373 三、y″=f(y, y′)型的微分方程 374 习题7-5 375 第六节高阶线性微分方程 376 一、高阶线性微分方程的基本概念 376 二、齐次线性微分方程的解的结构 377 三、非齐次线性微分方程的解的结构 380 习题7-6 382 第七节常系数齐次线性微分方程 382 一、常系数齐次线性微分方程的基本概念 382 二、二阶常系数齐次线性微分方程的通解 383 三、n阶常系数齐次线性微分方程的通解 386 习题7-7 389 第八节常系数非齐次线性微分方程 389 一、f(x)=eλxPm(x)形式 390 二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］形式 392 三、知识延展——微分方程的复值解 394 习题7-8 396 总习题七 396 参考文献 398

你还可能感兴趣

我要评论