这本易于理解的教科书/参考书从算法的角度简要介绍了数学分析，特别着重于分析的应用和数学建模的各个方面。 不仅描述了数学理论以及数值分析的基本概念和方法，还包含大量使用MATLAB、Python、Maple和Java applet的计算机实验。 本版进行了大量更新和扩展，提供更多的编程练习。
第 2 版前言
很高兴 Springer 出版社能够出版 Analysis for Computer Scientists 的第 2 版. 我们仍然
确信，在第 1 版中开发的算法是呈现分析主题的恰当方法. 因此，此处并没有做较大的改变.
但本次修订添加和更新了部分材料，特别是增加了双曲函数并给出了一些空间曲线和曲面
的细节. 增加了两节新内容：一节是有关二阶微分方程的，另一节是有关摆方程的. 此外，练
习部分也做了相当大的扩展，统计数据也进行了适当更新.
由于 Matlab 程序对本书概念非常重要，所以我们决定额外用 Python 实现这些程序以
方便读者阅读.
感谢 Springer 出版社的编辑，特别是 Simon Rees 和 Wayne Wheeler，感谢他们在第 2 版
准备过程中的支持.
Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
于奥地利因斯布鲁克
2018 年 3 月
第 1 版前言
数学和数学模型在计算机科学中至关重要. 因此，必须要重新考虑计算机科学专业讲授的
数学概念，并且适当地选择相关材料，调整学习动机. 这尤其适用于数学分析，分析的重要性
在离散结构占主导的环境中尤其突出. 一方面，计算机科学专业的数学分析课程必须涵盖必要
的基础知识；另一方面，它必须传达数学分析在应用，特别是计算机科学家在其专业生涯中将
会遇到的应用中的重要性.
我们认为有必要更新计算机科学中数学教学的原则，并根据当代的要求对教学进行重组.
这本基于以下概念编写的教材就试图对这一问题给出答案：
1. 算法方法；
2. 简洁的陈述；
3. 将数学软件作为一个重要组成部分融入书中；
4. 强调建模和分析的应用.
本书涉及数学、计算机科学和应用. 在这一领域中，算法思维非常重要. 本书选择的算法
围绕以下几方面：
a. 从算法的角度建立分析学中的概念；
b. 使用 Matlab、maple 及 Java 程序进行演示和解释；
c. 通过计算机实验和编程练习激发读者主动了解相关主题；
d. 与基本概念和数值分析方法结合的数学理论.
简洁的陈述意味着本书主要介绍各主题的基本思想. 例如，本书不讨论一般幂级数的收敛
性理论，但会给出泰勒展开式余项的估计. （本书之所以介绍泰勒展开式，是因为它是建模和
数值分析过程中不可或缺的方法. ）考虑到易读性，只有能够引入基本思想并对理解概念有贡
献的证明才会在正文中给出细节. 继续上面的例子，泰勒展开式余项的积分表示利用分部积分
方法进行了推导. 与此相反，需要用到积分中值定理的拉格朗日型的余项则被忽略了. 尽管如
此，本书努力保持内容的自洽性. 本书特别强调几何直观性，这可以通过书中大量的图示看出.
本书涵盖了从数学分析基础知识到有趣应用的所有内容（同样是站在计算机科学的角度进
行选择的），例如分形、L 系统、曲线和曲面、线性回归、微分方程和动力系统. 这些主题为数
学模型提供了坚实的基础.
本书英文版是在 2005 年（第 2 版在 2009 年）出版的德文原版的一个译本. 本书保持了德
文原版的结构，但对部分内容的表述做了一些改进.
本书的内容如下：第 1～8 章、第 10～12 章和第 14～17 章介绍分析学的基本概念，第 9 章、
第 13 章和第 18～21 章介绍重要的应用和很多高级的主题. 附录 A 和 B 汇总了一些向量和矩
VI
阵代数中的工具，附录 C 给出了正文内容中有意忽略的一些细节. 书中所用的软件是本书概念
的组成部分，在附录 D 中对它们进行了汇总. 每一章开始都有一个简要的介绍. 计算机实验进
一步丰富了书中的内容，激发读者主动学习相关的主题. 最后，每一章都给出了练习，其中的
一半都需要借助计算机程序来完成.
感谢 Elisabeth Bradley 对本书翻译提供的帮助. 感谢 Springer 出版社的编辑，特别是
Simon Rees 和 Wayne Wheeler，感谢他们在准备本书的英文文档时提供的支持和建议.
Michael Oberguggenberger
Alexander Ostermann
于奥地利因斯布鲁克
2011 年 1 月
目 录
译者序
第 2 版前言
第 1 版前言
第 1 章 数 1
1.1 实数 1
1.2 序关系和 R 上的算术 4
1.3 机器数 7
1.4 舍入 8
1.5 练习 9
第 2 章 实值函数 11
2.1 基本概念 11
2.2 一些初等函数 14
2.3 练习 21
第 3 章 三角学 24
3.1 三角形中的三角函数 24
3.2 三角函数推广到 R 上 26
3.3 环形函数 28
3.4 练习 30
第 4 章 复数 33
4.1 复数的概念 33
4.2 复指数函数 35
4.3 复函数的映射性质 37
4.4 练习 38
第 5 章 序列和级数 40
5.1 无穷序列的概念 40
5.2 实数集的完备性 45
5.3 无穷级数 47
5.4 补充材料：序列的聚点 50
5.5 练习 53
第 6 章 函数的极限和连续 56
6.1 连续的概念 56
6.2 三角函数的极限 59
6.3 连续函数的零点 61
6.4 练习 63
第 7 章 函数的导数 65
7.1 动机 65
7.2 导数 66
7.3 导数的解释 70
7.4 微分法则 72
7.5 数值微分 78
7.6 练习 82
第 8 章 导数的应用 84
8.1 曲线绘制 84
8.2 牛顿法 88
8.3 通过原点的回归线 92
8.4 练习 94
第 9 章 分形和 L 系统 97
9.1 分形 97
9.2 曼德布罗特集 103
9.3 茹利亚集 104
9.4 C 中的牛顿法 105
9.5 L 系统 106
9.6 练习 109
第 10 章 积分 110
10.1 不定积分 110
10.2 积分公式 112
10.3 练习 115
第 11 章 定积分 117
11.1 黎曼积分 117
11.2 微积分基本定理 122
11.3 定积分的应用 124
11.4 练习 126
第 12 章 泰勒级数 128
12.1 泰勒公式 128
12.2 泰勒定理 131
12.3 泰勒公式的应用 132
12.4 练习 134
第 13 章 数值积分 136
13.1 求积公式 136
13.2 精度与计算成本 140
13.3 练习 142
第 14 章 曲线 144
14.1 平面中的参数化曲线 144
14.2 弧长和曲率 150
14.3 极坐标中的平面曲线 156
14.4 参数化的空间曲线 158
14.5 练习 160
第 15 章 二元标量值函数 164
15.1 图像与部分映射 164
15.2 连续性 166
15.3 偏导数 167
15.4 弗雷歇导数 170
15.5 方向导数与梯度 174
15.6 二元函数泰勒公式 176
15.7 局部极大值和极小值 177
15.8 练习 180
第 16 章 二元向量值函数 183
16.1 向量场及雅可比矩阵 183
16.2 二元牛顿法 185
16.3 参数曲面 187
16.4 练习 189
第 17 章 二元函数的积分 191
17.1 二重积分 191
17.2 二重积分的应用 196
17.3 变换公式 198
17.4 练习 201
第 18 章 线
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