数值流形法（NMM）是以覆盖为基础的伽辽金（Galerkin）类数值方法。本书围绕NMM的基本原理及其对岩土力学问题的初步应用展开论述，涉及Galerkin变分法和NMM解的构造。理论部分分别讨论了以有限元网格和移动最小二乘法节点影响域作为数学覆盖的NMM解的构造，阐述了NMM与其他Galerkin类现代数值方法之间的关系。其中，“升阶”和“切割”是NMM区别于其他Galerkin类数值方法的本质特征。应用部分展示了NMM在解决计算力学中几个非共识问题方面的能力，如高阶单元质量矩阵的对角化问题、无网格Galerkin法本质边界条件的施加问题、外问题和不可压缩问题等，这些都是基于NMM的“升阶”特征而完成的。最后，讨论了无压渗流问题和压剪裂纹扩展模拟的NMM方案，这些都体现了NMM的“切割”特征。
本书适合对先进数值分析方法有学习和研究兴趣的所有读者阅读。
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作者自20世纪90年代中期就开始关注数值流形法（
numerical manifold method，NMM）了，但真正亲力
亲为地研究NMM是始于2012年冬，彼时作者刚担任了一
个“973”项目的课题负责人。这个课题的主要任务是
数值仿真水电工程中的高陡岩质边坡在全生命周期内的
变形和稳定性演化，其中涉及岩石破裂过程的模拟。当
时模拟破裂的数值分析方法有很多，如无网格
Galerkin 法（element-free Galerkin method，EFG
）、扩展有限元法（extended finite element
method，XFEM）、离散元法（distinct element
method，DEM）和不连续变形分析法（discontinuous
deformation analysis method，DDA），以及其他为
此目的而设计的方法和软件，如RFPA系统（rock
failure process analysis system，岩石破裂过程分
析系统）和CDEM（continuum discontinuum element
method，连续介质非连续单元法）等。选择NMM完全是
出于个人的知识结构和审美情趣，我非常庆幸这一选择
，因为经过许多专家的共同努力，今天我们可以自豪地
说，NMM已经成为当今主流的数值分析方法之一。这样
说的根据不仅在于近几年NMM领域的论文不断在各主流
期刊上发表且引用频次名列前茅，而且“数值流形法”
已成为一些杂志关键词库中的标准关键词。
本书是基于作者对NMM的理解和所做的部分工作而
写就的，素材主要来源于作者近年来受邀在海内外讲授
NMM/DDA的基本讲义和部分期刊论文，旨在传播NMM这一
现代数值分析方法。
全书共分为三篇。
第一篇介绍数值流形法基础知识，由第1章～第4章
组成。
第1章论述Galerkin类数值方法的变分学基础。固
体和结构的有限元法（finite element method，FEM
）可以借助于物理直觉来建立其计算格式，如波音小组
所采用的直接刚度法。直接刚度法被有土木工程背景的
学生熟知并乐意接受。但是，直接刚度法无法用于构建
NMM和其他Galerkin类现代数值方法，它们必须以问题
的弱形式或变分提法作为出发点。因此，针对一些常见
的边值问题，作者基于自己的心得，给出了建立变分提
法的具体步骤，自以为比现有文献所介绍的方法更容易
被初学者掌握。此外，在1.5节论述了处理本质边界条
件的广义罚函数法和广义拉格朗日（Lagrange）乘子法
。称之为“广义”是因为不要求边值问题有相应的势能
泛函或里兹（Ritz）变分提法，这对于非自伴算子和一
些非线性问题有特殊的重要性。根据作者的授课经验，
仅学过直接刚度法有限元的研究生在接受这一章内容时
有一定的困难。但是，欲从事现代工程数值分析，这是
必须要迈过的坎儿。当然，若对Galerkin变分学有相当
的了解，这一章除1.5节外可以略过不读。
第2章以二阶问题为例，论述了NMM的基础，引入了
NMM中的一些基本概念，其中，对于数学覆盖中的基本
构成元件“片”的几何形状没有做任何特殊的要求。希
望通过本章的学习，帮助读者克服对NMM中“流形”这
一“高大上”名词的畏惧，了解为何要引入“数学覆盖
”和“物理覆盖”这些似乎令人心生敬畏的名词。第2
章实际上是NMM的核心内容。
第3章以我们熟知的有限元网格为数学覆盖来论述
NMM。通过本章的学习，读者会了解NMM与FEM的联系和
区别，也可进一步了解为何NMM能FEM所不能。
第4章论述非有限元覆盖的NMM。通过本章的学习，
可以进一步加深对NMM的理解，坚信如果用NMM来审视
Galerkin类数值分析方法，可以解决囿于这些方法难以
解决的重要问题，这将在随后的章节中反复看到。
NMM诞生于1991年（Shi，1991），是作者知晓的
最早基于单位分解来构造Galerkin近似解的现代数值方
法。作者认为NMM有两个最鲜明的特点，即“升阶”和
“切割”。“升阶”不仅仅是指在片上引入高阶多项式
作为片上的局部逼近，而且可以是反映解在片上局部特
性的任何函数。“切割”是为了反映不连续，进而使
NMM特别适用于在固定格子或数学覆盖上求解一切涉及
运动界面的问题。无“切割”的NMM实际上就是单位分
解法（partition of unity method，PUM）。本书的
第二篇和第三篇正是围绕NMM的这两个特点而组织的。
第二篇由第5章～第8章组成，展示了利用NMM的“
升阶”功能所解决的计算力学中的几个著名难题，简述
如下。
现有的有严格数学力学基础的单元质量矩阵对角化
方法仅适用于线性单元，如果将其应用于平面八节点等
参元等高阶单元，会导致零甚至负的节点质量，因此不
得不借助于物理直觉来生成其对角质量矩阵。计算力学
界普遍认为现有的高阶单元对角质量矩阵的生成纯粹是
“tricky”。第5章以平面八节点等参元为例，先将FEM
看成NMM的特例，待在NMM框架下解决问题后，再回到
FEM并用FEM的语言给出相应的解决方案。在数值特性方
面，基于NMM的对角质量矩阵甚至优于一致质量矩阵。
EFG等现代数值方法在克服了FEM的某些不足的同时
也带来了新的问题，其中**的一个问题便是本质条件
的施加变得困难了。已有大量的论文论述这一问题
第一篇 数值流形法基础
第1章 Galerkin类数值方法的变分学基础
1.1 线性向量空间概要
1.2 边值问题两种提法的抽象形式
1.2.1 边值问题的方程提法
1.2.2 变分提法
1.2.3 非齐次本质边界条件
1.2.4 Ritz变分提法
1.2.5 向量场问题
1.3 边值问题的Galerkin变分提法实例
1.3.1 Einstein求和约定
1.3.2 两点边值问题
1.3.3 本质边界-界面条件和自然边界-界面条件
1.3.4 变分提法的优点
1.3.5 二阶问题
1.3.6 四阶问题
1.3.7 非自伴算子的边值问题
1.4 Galerkin法
1.4.1 齐次本质边界条件
1.4.2 非齐次本质边界条件的处理——精确方法
1.4.3 矢量场的Galerkin法——以三维弹性力学为例
1.5 广义罚函数法和广义Lagrange乘子法
1.5.1 再谈本质边界-界面条件
1.5.2 罚函数法
1.5.3 Lagrange乘子法
第2章 数值流形法基础——以二阶问题为例
2.1 数学覆盖及其权函数
2.2 物理覆盖及其权函数
2.3 局部逼近和整体逼近
2.4 NMM解的变分合法性
2.5 NMM小结
本章附录 关于流形的直观定义
第3章 有限元覆盖
3.1 NMM视角下的FEM
3.2 基于有限元覆盖的NMM
3.3 基于有限元覆盖的NMM的实质
3.3.1 被边界所切割的流形单元
3.3.2 被结构面完全切割所生成的流形单元
3.3.3 被结构面部分切割所生成的流形单元
3.4 采用高阶多项式局部逼近时的线性相关问题
3.5 流形单元上的积分和总体矩阵的组装
3.5.1 非奇异被积函数的积分
3.5.2 含1/r奇异性的被积函数的数值积分
第4章 非有限元覆盖的数值流形法
4.1 移动最小二乘法
4.2 关于MLS-权的选取和基于MLS的覆盖系统
4.2.1 关于MLS-权的选取和生成
4.2.2 基于MLS的覆盖系统
4.3 背景网格
第二篇 计算力学中几个问题的NMM方案
第5章 严格的高阶单元质量矩阵的对角化
5.1 弹性动力问题的变分提法
5.2 动力问题的有限元法
5.3 半离散格式的时间积分方案
5.3.1 直接积分法——Newmark方法
5.3.2 模态分析法
5.3.3 振型叠加法
5.4 基于流形上积分定义的集中质量矩阵
5.5 算例
5.5.1 细长杆自由振动
5.5.2 悬臂梁自由振动
5.5.3 圆柱壳受迫振动
5.6 结论与讨论
第6章 本质边界-界面条件的精确满足
6.1 问题的定义
6.2 物理片上的局部逼近
6.3 势问题的整体逼近和NMM
6.4 关于NMM和FEM的进一步讨论
6.5 算例
6.6 仍待解决的问题
第7章 不可压缩弹性材料问题的求解
7.1 与压缩性无关的弹性本构
7.2 不可压缩材料边值问题的弱形式
7.3 数值流形法逼近
7.3.1 位移的逼近
7.3.2 压力的逼近
7.4 弱形式的离散格式
7.4.1 平衡方程的离散
7.4.2 不可压缩条件的离散
7.5 算例
7.5.1 悬臂梁问题
7.5.2 Cook梁
7.6 结论与讨论
第8章 外问题
8.1 FEM中的无界元技术
8.1.1 映射无界元
8.1.2 位移衰减无界元
8.2 外问题的NMM
8.2.1 由有限元网格生成的覆盖
8.2.2 NMM逼近
8.2.3 弱形式的数值积分
8.3 FEM和NMM的进一步比较
8.4 算例
8.4.1 位势问题
8.4.2 弹性半无限空间问题
8.4.3 有限深度无限长区域的弹性力学问题
8.5 结论与讨论
第三篇 运动边界问题的数值流形法
第9章 无压渗流问题
9.1 引言
9.2 问题的微分方程提法
9.3 混合形式的变分提法
9.4 数值流形法近似
9.5 自由面调整策略
9.6 算例
9.6.1 均质矩形坝
9.6.2 非均质矩形坝
9.6.3 梯形截面沟渗流
9.6.4 心墙土石坝渗流
9.7 结论与讨论
第10章 多体系统动态接触问题的解法
10.1 接触问题的微分方程提法
10.2 接触条件
10.2.1 接触条件的精确表述
10.2.2 罚形式的接触本构
10.3 变分提法
10.4 被提前的时间离散
10.4.1 经典离散方式所遇到的挑战
10.4.2 时间积分
10.5 空间离散——数值流形法
10.5.1 NMM逼近
10.5.2 外力的虚功
10.5.3 内力的虚功
10.6 与接触相关的虚功
10.6.1 接触类型与剪切力强度
10.6.2 接触力的虚功
10.7 迭代求解
10.7.1 总体方程组
10.7.2 开-闭迭代
10.8 关于罚参数的选取
第11章 压剪裂纹动态扩展的模拟
11.1 问题的提法
11.2 基于强度的裂纹扩展准则
11.2.1 引言
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