本书第一部分主要介绍了广义函数论的基本内容，包括广义函数的定义、正则化、局部理论、乘子、卷积与张量积以及它的Fourier变换等经典内容；作为应用，考虑了常系数线性偏微分方程的基本解。第二部分主要介绍了经典函数空间的基本内容，包括Sobolev空间、H。lder空间、Lorentz空间在内的常见函数空间；Sobolev空间的延拓定理、嵌入定理与迹定理，以及Littlewood-Paley理论和Bony仿积分解。为了方便读者学习，我们在第三部分附录中补充了部分相关内容，并在各章节后配置了习题，使得本书基本上形成了一个自洽的体系。若作为授课教材，一个80学时的课程可以涵盖本书的主要内容，120学时则足以涵盖全部的内容。
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1997-07--1999-06 中科院数学所 博士后
1987-09--1997-06 南京大学 博士2003-04~现在, 中科院数学与系统科学研究院, 研究员
2001-04~2003-03,中科院数学与系统科学研究院, 副研究员
1999-07~2001-03,中科院数学与系统科学研究院, 阻力研究员
1997-07~1999-06,中科院数学所, 博士后
1987-09~1997-06,南京大学, 博士非线性偏微分方程2013-01-01-今,J. éc. polytech. Math., 编委
2011-01-01-今,数学进展, 编委
2011-01-01-今,artial Differential Equations, 编委
2010-01-01-今,Acta Applicandae Mathematicae, 副主编
2009-01-01-今,中国科学, 编委
2008-01-01-今,Czechoslovak Math. J., 编委
目录
“现代数学基础丛书” 序
前言
符号说明
第0章 预备知识 1
0.1 Lebesgue Lp空间 1
0.2 卷积与Young不等式 4
0.3 分布函数*与弱Lp空间 9
0.3.1 分布函数* 9
0.3.2 弱Lp空间 13
0.4 习题 16
第一部分 广义函数部分
第1章 广义函数的基本概念 23
1.1 不能用Lp函数表示的连续线性泛函 23
1.2 基本函数空间与正则化算子 25
1.2.1 基本函数空间*，* 25
1.2.2 正则化算子 27
1.3 Schwartz 函数空间* 29
1.4 广义函数的定义及基本命题 31
1.5 广义函数的支集与单位分解定理 35
1.6 广义函数的极限与正则化 38
1.7 分布意义下的导数 42
1.8 分布的局部理论 46
1.9 习题 50
第2章 广义函数的性质 55
2.1 广义函数间的映射 55
2.1.1 乘子 55
2.1.2 坐标变换, 复合运算 57
2.2 广义函数的张量积 60
2.3 广义函数的卷积 63
2.4 在无穷远处缓增的光滑函数与*的乘子 68
2.5 Schwartz 分布卷积的相关结果 71
2.6 习题 74
第3章 Fourier变换 80
3.1 *上的Fourier变换 80
3.2 *上的Fourier变换 85
3.3 部分Fourier变换.88
3.3.1 速降函数*的部分Fourier变换 88
3.3.2 Schwartz 分布*的部分Fourier变换 89
3.4 紧支集广义函数的Fourier变换 90
3.5 *函数的Fourier变换 94
3.5.1 *中的Fourier变换 94
3.5.2 *中的Fourier变换 97
3.5.3 *中的Fourier变换 99
3.6 习题 100
第4章 常系数线性偏微分方程的基本解 108
4.1 分布意义下的解 108
4.2 基本解的概念 111
4.2.1 调和方程的基本解 111
4.2.2 常系数常微分方程基本解 114
4.3 经典常系数线性偏微分算子的基本解 115
4.3.1 Cauchy-Riemann算子的基本解 115
4.3.2 热传导方程与Schrodinger方程的基本解 116
4.3.3 波动方程的基本解 117
4.4 一般常系数线性偏微分算子的基本解 120
4.5 习题.125
第二部分 函数空间部分
第5章 Sobolev空间(I)——基本性质 131
5.1 Dirichlet原理 131
5.2 整数阶的Sobolev空间 135
5.2.1 非负整数阶的Sobolev空间 135
5.2.2 负整数阶的Sobolev空间 139
5.2.3 *的稠密性定理 141
5.3 实数阶Sobolev空间*143
5.4 内蕴范数，流形上的Sobolev空间与局部化 149
5.4.1 齐次范数与内蕴范数 149
5.4.2 变量代换与局部化 152
5.5 Sobolev空间的延拓 154
5.6 习题 159
第6章 Sobolev空间(II)——嵌入定理与迹定理 166
6.1 Sobolev空间的嵌入定理 166
6.1.1 Sobolev不等式与*时的Sobolev嵌入 166
6.1.2 H.lder空间与*时的Sobolev嵌入 170
6.1.3 Rellich紧嵌入定理 173
6.2 Hs 上的嵌入定理 178
6.2.1 嵌入定理 178
6.2.2 紧嵌入定理 181
6.3 迹算子与迹定理 183
6.4 习题.188
第7章 Littlewood-Paley理论 196
7.1 二进环形分解与Bernstein引理 196
7.1.1 二进环形分解 196
7.1.2 Bernstein引理 199
7.2 Sobolev空间的L-P刻画 200
7.3 H.lder空间及其L-P刻画 207
7.4 习题.213
第8章 Bony仿积分解 219
8.1 部分和估计 219
8.2 广义函数的形式乘法及仿积分解 221
8.2.1 *的估计 223
8.2.2 余项*的估计 224
8.3 仿积估计的应用 226
8.3.1 乘积估计 226
8.3.2 交换子估计 228
8.4 习题.230
第9章 Lorentz函数空间 238
9.1 非增重排函数* 238
9.1.1 非增重排函数的定义与举例计算 238
9.1.2 非增重排函数*的性质 240
9.2 Lorentz空间的定义 245
9.3 Lorentz空间的性质 249
9.3.1 Lorentz空间的拟范数与完备性 249
9.3.2 *的对偶空间 252
9.4 习题.259
第三部分 附录
附录 A 线性算子的插值理论.267
A.1 (拟)线性算子的实插值：Marcinkiewicz插值定理 .267
A.2 复插值方法：Riesz-Thorin插值定理 271
A.3 习题 276
附录B 赋予可数多半范的拓扑线性空间 277
B.1 赋予可数多半范的拓扑线性空间的基本性质 277
B.2 回顾基本函数空间 281
B.3 习题 283
附录C 空间* 283
C.1 空间* 283
C.2 空间* 285
C.3 习题 286
附录D 空间*与*的结构 286
D.1 空间*及其对偶 287
D.2 *的结构.288
D.3 习题 290
附录E Lorentz函数空间的卷积与乘积 291
E.1 卷积算子 291
E.2 Lorentz函数空间的卷积不等式 295
E.3 乘积算子与不等式 297
E.4 习题 298
参考文献 299
名词索引 303
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