在当今科学与工程的广阔领域中, 复变函数与积分变换作为数学工具的核心组成部分, 扮演着 举足轻重的角色. 它们不仅是理论研究的基石, 更是解决实际问题的利器. 本书旨在为读者提供一 部内容全面、结构清晰、易于理解的教材, 帮助读者系统地掌握这一领域的基本理论和实际应用, 为未来的学术研究和职业生涯打下坚实的基础. 复变函数, 将函数的变量范围从实数域扩展到了复数域. 这种推广看似平凡, 却因为复变函数 的解析理论能揭示许多在实数域中难以发现的数学规律和性质, 而显得丰富多彩且极具生命力. 通 过复变函数, 我们可以更加深入地理解自然界的许多现象, 如电磁场的分布、流体的流动、振动与 波动等. 本书先介绍复数的基本概念、运算规则和几何意义, 然后逐步将实数情形的极限与微积分 理论推广到复数情形, 并揭示这二者本质的差异. 我们将深入探讨复变函数的可导性和解析性, 并 由此得到其积分表达、级数展开、奇点行为与留数等核心理论. 积分变换, 特别是傅里叶变换和拉普拉斯变换, 是现代科学与工程中广泛应用的数学工具. 它 们在函数变换方面的诸多性质, 解释了处理信息的一般手段. 不仅如此, 它们还能够将复杂的微分、 积分方程转化为易于求解的代数方程, 将复杂的卷积运算化为简单的乘积运算. 本书将在复变函数 相关理论的基础上, 深入探讨这两类积分变换的动机、原理、性质及应用, 以便读者掌握积分变换 的基本方法和技巧. 在本书编写过程中, 我们注重理论与实践的结合, 兼顾趣味性和可读性, 力求使内容既具有理 论深度, 又易于理解和应用. 在本书中, 我们力求每一个概念的引入背景都有所交代, 让读者能很容 易地接受抽象的数学概念; 每一个性质都有所应用, 避免读者陷入为何而学的困惑中; 每一个定理 都可以用简短的语言来解释, 并提供多视角的理解方式, 让读者理解而不只是记住一个个知识点. 本书提供了丰富的例题和随堂练习, 让读者可以学练互动. 每一章的结尾对相应章节内容进行 了总结, 并着重指出不易理解和易出错的知识点. 本书中的选读内容建议让感兴趣的学生自学, 而 不必讲授. 若因课时不足而不能讲授全书, 则可依次不讲授保形映射、积分变换在积分和级数中的 应用、留数在级数中的应用、留数在定积分中的应用. 本书是在合肥工业大学全体数学教师的支持下编写完成的. 相关课程的数字教学资源由袁志 杰、赵德勤、陈智、周玲、刘可为等人建设完成. 感谢本书完成过程中学院领导和同事的大力支持, 感谢本书的编辑、校对和审阅专家. 由于编者水平有限, 书中错误之处在所难免, 敬请读者指正!编 者
目 录引言第 1 章 复数与复变函数 11.1 复数及其代数运算 11.1.1 复数的产生 11.1.2 复数的概念 31.1.3 复数的代数运算 41.1.4 共轭复数 61.2 复数的三角形式与指数形式 71.2.1 复数的模和辐角 71.2.2 复数的三角和指数形式 101.3 三角和指数形式在计算中的运用 121.3.1 复数的乘除 121.3.2 复数乘法的几何意义 131.3.3 复数的乘幂 141.3.4 复数的方根 151.3.5 实系数三次方程根的情况 (选读)171.3.6 单位根的应用 (选读) 191.4 曲线和区域 231.4.1 复数表示平面曲线 231.4.2 区域和闭区域 251.4.3 区域的特性 281.5 复变函数 291.5.1 复变函数的定义 291.5.2 复平面的变换 301.6 极限和连续性 331.6.1 数列的极限 331.6.2 无穷远点和复球面 341.6.3 函数的极限 351.6.4 函数的连续性 371.6.5 复数域的性质 (选读) 38本章小结 44本章作业 45第 2 章 解析函数 472.1 解析函数的概念 472.1.1 可导函数 472.1.2 可微函数 492.1.3 解析函数 502.2 函数解析的充要条件 512.2.1 柯西黎曼定理 512.2.2 柯西黎曼定理的应用 532.3 初等函数 572.3.1 指数函数 572.3.2 对数函数 592.3.3 幂函数 612.3.4 三角函数和相关函数 632.3.5 在有理函数中的应用 662.3.6 矩阵上的指数函数 (选读) 692.3.7 多值函数的单值化 (选读) 72本章小结 76本章作业 77第 3 章 复变函数积分 793.1 复变函数积分的概念 793.1.1 复变函数积分的定义 793.1.2 参变量法计算复变函数积分 803.1.3 长大不等式和大小圆弧引理 833.2 柯西-古萨定理和复合闭路定理853.2.1 柯西-古萨定理 853.2.2 复合闭路定理和连续变形定理 873.2.3 原函数和不定积分 903.3 柯西积分公式 94目 录 V3.3.1 解析函数的柯西积分公式 943.3.2 高阶导数的柯西积分公式 963.4 解析函数与调和函数 1003.4.1 调和函数 1003.4.2 共轭调和函数 1013.5 复变函数在平面向量场中的应用(选读) 1043.5.1 平面向量场 1043.5.2 无源场、无旋场和调和场 1053.5.3 应用举例 106本章小结 109本章作业 110第 4 章 级数 1134.1 复数项级数 1134.1.1 复数项级数及其敛散性 1134.1.2 判别法 1164.2 幂级数 1174.2.1 幂级数及其收敛圆 1174.2.2 收敛半径的计算 1194.2.3 幂级数的运算性质 1204.3 泰勒级数 1234.3.1 泰勒展开的形式与性质 1234.3.2 泰勒展开的计算方法 1254.3.3 泰勒展开在级数中的应用(选读) 1284.3.4 泰勒展开成立的范围(选读) 1304.4 洛朗级数 1324.4.1 双边幂级数 1324.4.2 洛朗展开的形式 1344.4.3 洛朗展开的计算方法 1364.4.4 有理函数的泰勒展开和洛朗展开(选读) 1404.5 孤立奇点 1454.5.1 孤立奇点的类型 1454.5.2 零点与极点 1494.5.3 孤立奇点 的分类 (选读) 151本章小结 154本章作业 155第 5 章 留数及其应用 1585.1 留数 1585.1.1 留数定理 1585.1.2 留数的计算方法 1595.1.3 在 的留数 1625.2 留数的应用 1645.2.1 留数在定积分中的应用 1645.2.2 留数在级数中的应用 (选读) 1745.2.3 儒歇定理 (选读) 177本章小结 180本章作业 181第 6 章 保形映射 1836.1 保形映射的概念 1836.1.1 导数的几何意义 1836.1.2 保形映射的定义 1846.1.3 扩充复平面上的保形映射 1856.2 分式线性映射 1876.2.1 分式线性映射的性质 1876.2.2 分式线性映射举例 1916.2.3 分式线性映射的其他表现(选读) 1956.3 初等函数对应的映射 1986.3.1 幂函数 1986.3.2 指数函数 2006.3.3 儒可夫斯基函数 2036.4 保形映射在标量场中的应用(选读) 206本章小结 208本章作业 209第 7 章 积分变换 2117.1 傅里叶变换 2117.1.1 积分变换的引入 2117.1.2 傅里叶级数 2127.1.3 傅里叶变换 2147.1.4 狄拉克 函数 219VI 目 录7.1.5 傅里叶变换的性质 2227.1.6 傅里叶变换的应用 2277.2 拉普拉斯变换 2337.2.1 拉普拉斯变换的定义 2337.2.2 拉普拉斯变换的性质 2357.2.3 拉普拉斯逆变换 2387.2.4 拉普拉斯变换的应用 240本章小结 243本章作业 245练习参考答案 247作业参考答案 249参考文献 263中外人名对照表 264索引 266
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