《折纸与数学》使用文字语言、符号语言和图形语言相结合的方式介绍了折纸几何学的7个基本公理，并通过举例说明了折纸基本公理的操作过程，给出了折纸操作的基本性质。用A4纸和正方形纸，使用统一的折纸操作语言，按照“折一折”、“想一想”、“做一做”结构，给出了平面基本图形的折叠方法，讨论了2长方形、3长方形和黄金长方形的折叠过程及相关的数学问题。通过将平面基本图形折叠成一个无缝无重叠的长方形，讨论了多边形的面积公式。利用折纸基本公理对平面基本图形进行分解与合成，探索了分数运算的算理，给出了一次、二次和三次方程解的折叠方法。
《折纸与数学》还从数学课堂教学原理和数学课堂教学艺术的角度出发，结合中小学数学课程对“数学活动”的基本要求，以中小学数学教材为范本，按照“折一折、想一想、做一做”的教学模式给出了“垂线的教学设计”、“平行线的教学设计”、“等腰三角形性质的教学设计”等7个具体的数学教学设计案例。最后，从近几年中国各地的中考数学试题中精选了16道与折纸有关的题目，应用折纸的基本公理，对题目的折纸操作方法进行了解析，并应用折纸基本性质对题目的解答过程进行了分析。
《折纸与数学》适合中、小学数学教师、学生、数学爱好者、折纸爱好者、数学教育研究者阅读参考。
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《折纸与数学》是一本书学折纸活动的操作指南书，研究折纸与数学教学的基础《折纸与数学》是一本书学折纸活动的操作指南书，研究折纸与数学教学的基础
黄燕苹女，1961年5月生，教育学博士，现任西南大学数学与统计学院教授、数学认知研究所所长。1983年7月西南师范学院数学系本科毕业，1994年3月日本大阪大学工学部硕士研究生毕业，2007年12月西南大学数学与统计学院博士研究生毕业。现主要从事折纸与数学认知思维、少数民族数学教育、教师教育等研究，主讲《数学教育学概论》、《数学教学设计》等本科课程和《数学教育研究方法概论》、《数学课程与教材分析》等研究生课程。
李秉彝男，1938年12月生，现任教于新加坡南洋理工大学国立教育学院。1959年12月新加坡南洋大学第一届毕业生，1965年9月英国北爱尔兰女皇大学博士研究生毕业，1971年回返新加坡任教至今。曾任国立教育学院数学与数学教育系主任，国际数学教育委员会副主席，东南亚数学学会会长等职。专长实分析和序列空间理论，已出版中英文专著数部，培养博士研究生20余人。
目录
前言
第1章 折纸的基本理论 1
1.1 两点折线 1
1.2 两点对折 4
1.3 两钱对折 7
1.4 过点对折 9
1.5 点折到钱 12
1.6 双点到钱 13
1.7 点钱线点 17
第2章 平面基本圆形折纸 20
2.1 2长方形 20
2.2 3长方形 23
2.3 黄金长方形 25
2.4 等腰三角形 30
2.5 等边三角形 33
2.6 直角三角形 35
2.7 平行四边形 38
第3章 长方形与多边形面积 44
3.1 正方形折二重长方形 44
3.2 长方形折二重长方形 48
3.3 三角形的面积 52
3.4 梯形的面积 53
3.5 平行四边形的面积 55
3.6 风筝的面积 58
第4章 析纸与分数 61
4.1 1/2分解61
4.2 1/4和1/8分解 65
4.3 折1/3和1/n分解 69
4.4 异分母分数加减法 73
4.5 面积比 79
附录 83
第5章 听纸与方程 84
5.1 一次方程 84
5.2 平方根 89
5.3 二次方程 93
5.4 立方根 96
5.5 三次方程 99
第6章 折纸活动课教学设计 105
6.1 垂线的教学设计 105
6.2 平行线的教学设计 110
6.3 等腰三角形性质的教学设计 115
6.4 三角形中位线定理的教学设计 119
6.5 含30°的直角三角形性质的教学设计 125
6.6 发现勾股定理的教学设计 129
6.7 发现角平分线性质的教学设计 136
第7章 中考题中的折纸问题解析 140
参考文献 163
本章讨论了折纸操作的7个公理及其性质,是全书折纸操作的基础.前6个公理分别是由JustinJacques在1989年和HumiakiHuzita在1991年提出的[1,2],我们在此6个公理的基础上给出了折纸操作的第7公理及其性质.前5个折纸公理的结果都能用欧氏几何尺规作图完成,第6和第7公理是折纸几何学所特有的操作,其最大的特点是翻折“纸―平面”的时候借用了三维空间.本章中,前5个折纸公理的应用举例,全部选用欧氏几何的相关问题,作为第5公理的应用,例举了经过两次折叠三等分直角的方法,即得到含30.的直角三角形的操作过程,而作为第6公理的应用,则介绍了阿部恒在1980年发表的三等分任意锐角和解倍立方问题的折纸方法[3],我们用第7公理描述了芳贺和夫关于三等分线段的第三定理的折纸步骤[4].
1.1两点折线
欧几里得《几何原本》的第1公设：“任意一点到另外任意一点可以画直线”,在折纸几何中这一公设仍然成立.
折一折
操作1过长方形ABCD的A,C两点折叠,折痕AC即为长方形ABCD的对角线AC,如图1-1所示.
公理1(两点折线)
图1-1A.C
设P1,P2为已知两点,则过P1,P2能折且只能折一条直线.我们将过P1,P2折叠的操作用记号
P1.P2表示,如图1-2所示.
想一想
在长方形纸ABCD的BC边上取一点E,过D,E两点折叠,折痕为DE,点C的落点为F.
图1-3D.E
因为折叠以后点C的落点是F,.CDE与.DEF重合,有EF=CE,DF=CD,DE=DE,且∠CED=∠FED,∠DFE=∠DCE,∠EDF=∠EDC,也即.CDE的三条边和三个角与.DEF相对应的三条边和三个角分别相等,因而可以说.CDE≌.DEF.
这里,将折叠以后重合的两点称为对应点.关于对应点有下列性质成立.
性质1-1过已知两点折叠,一对对应点分别与已知两点构成的两个三角形全等.
2
如图
1-4,过点P1,P2折叠,点P的对应点为
P.,则.P1PP2≌.P1P.P2.
性质1-2如图1-5,过点P1,P2折叠,设P的对应点为Q,M的对应点为N,则四边形P1MPP2与四边形P1NQP2全等.
事实上,在图1-5中,过点P1,P2折叠后,四边形P1MPP2与四边形P1NQP2重合,即四边形P1MPP2的四条边与四个角分别与四边形P1NQP2所对应的四条边与四个角相等,也就是说四边形P1MPP2与四边形P1NQP2全等.
做一做
1)怎样将长方形纸分解为四个形状和大小都相同的直角三角形.
图1-4图1-5
操作2设E,F分别是长方形ABCD的边AD和BC上的中点,利用公理1,分别过E,F两点,A,F两点和D,F两点折叠,可将长方形ABCD分成四个全等的直角三角形,如图1-6所示.
2)如何在面积为1的正方形ABCD中折面积为15的正方形.
操作3如图1-7所示,设E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的中点,分别过A,G两点,B,H两点,C,E两点,D,F两点折叠(公理1),则折痕所围成
的四边形MNPQ为面积为51的正方形.
由.ABH≌.ADG(两边及夹角对应相等),有∠ABH=∠DAG,而∠BAM+∠DAG=90.,所以∠BAM+∠ABM=90.,即AG⊥BH.同理可以证明每两条折痕相互垂直,由此可得.ADQ≌.ABM≌.CBN≌.CDP,因此,AQ=BM=CN=DP.又因为E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的中点,所以M,N,P,Q分别是AQ,BM,CN,DP的中点,因此四边形MNPQ是正方形.容易
3
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