《数学物理趣谈：从无穷小开始》重点介绍了现代物理中常用的一些数学方法，包括微积分、变分法、微分方程、微分几何等领域的基础知识。作者以深入浅出的解释、直观明白的图像、生动有趣的语言，使你初步了解这些基础的数学概念，以及与它们相关的物理应用实例。带领你追溯数学物理的源头，从趣味中体会数学之美，带你进入数学物理及与其发展紧密相关的理论物理的大门。
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第1章 无穷小的魔术
“数学是关于无穷的科学。”——大数学家希尔伯特名言
1. 从微积分说起
有朋友对我说，简单的初等数学永远能记住，因为它对日常生活很有用处，比如算账什么的就需要。至于微积分嘛，早都还给老师去了，因为它与实际生活没有关系啊！微积分与我们日常生活真的无关吗？其实不然，看了下面这几个例子，也许你的看法就不一样了。
你去爬山时一定注意过山坡的形状，有的简单、有的复杂，或高或低、或平或陡。但无论何种形状，山坡的高度总是随着离山脚下出发点的距离而变化的。有的部分很陡，也就是说高度变化得很快；而另一些部分比较平坦，即高度变化得慢，或者几乎不变。如何来描述高度的这种变化呢？快还是慢，陡还是平？我们可以用一个叫“坡度”的数值来表示。坡度定义为高度的增加与你走过的水平距离的比值。比如，如果像图1.1（a）所示的简单形状，用初等数学中的简单几何知识就能描述，不就是几条直线构成的几个三角形和矩形吗？在这种情形下，坡度的计算也很简单，如图中所示，用高度除以距离即可得到。图1.1（a）中的山坡分成简单的3段：上坡、平地、下坡，在每一段中，坡度都将分别是一个常数。
数学中有一个更专业的词汇来描述上面例子中的山坡形状，那就是“函数”。函数是用来描述变量之间的关系的，比如说，在上面的例子中，山坡的高度y随着离出发点O的水平距离x而变化，也就是说，y是x的函数。这里，y是函数，x叫作自变量。函数和自变量的关系可以用像图1.1（a）中所画的类似曲线来描述，而刚才爬山例子中所说的“坡度”，也有一个数学术语：曲线的斜率。斜率表征了函数在某点的变化快慢，它的计算便需要用到微积分。
当然，如果山坡的形状很简单，并不需要用微积分来计算坡度，比如像图1.1（a）的情况，山坡的每一段都是直线，计算坡度时只需要用这一段山坡高度的变化Δy除以水平距离的变化Δx就行了。从图1.1（a）的图形来估计，第一段山路的坡度大约等于1；第二段山路中高度没有变化，坡度为0；第三段是很陡的下坡路，坡度是负数，绝对值大于1。
但是，如果山坡的形状比较复杂如图1.1（b）所示，坡度就不方便用初等数学来计算了。这时候，就需要用到微积分这个锐利的工具。
因此，可以粗略地说，微积分是用来研究函数是如何变化的。
图1.1 山坡形状及坡度计算
首先，它可以被用来计算函数变化的斜率，从而考察函数变化的快慢。当函数很复杂，是个任意形状的曲线时，斜率的计算也变得很复杂，这时候，微积分便被派来解决这种问题。
在日常生活中，复杂的函数形状比比皆是。由于我们的世界处于不断的变化和运动之中，一切皆变数，到处都是“变量”，几乎在每一个领域，都能见到使用各种曲线来描述经济的发展、公司的业绩、员工的增长、交通的繁忙 如何深入研究这些变化呢？答案就是微积分。
比如，图1.2所示的股票市场、温度变化、心电图等，这些曲线都可用微积分来分析。
让我们再回到山坡的例子，解释如何计算坡度。初等数学只能处理简单的函数，计算如同图1.1（a）所示的山坡形状的坡度。如果碰到变化多端的任意形状的函数，该如何计算斜率呢？比如，如何计算图1.1（b）所示的那种复杂山坡的坡度呢？
当然，我们仍然可以沿用图1.1（a）所示的方法，用高度Δy除以距离Δx来计算，但这时得到的数值只能算是某一段距离Δx中的平均坡度。如果我们改变计算所用的Δx的大小，平均坡度也将随之变化。例如，当我们要计算图1.1（c）中某一个点A附近的坡度，
图1.2 日常生活中的函数
可以采取如下步骤：从A点的x开始，首先增加到x＋Δx1，如果y的改变为Δy1，便能算出第一个平均坡度P1＝Δy1/Δx1。然后，逐次减小Δx1使之成为Δx2， Δx3， ， Δxn，相应地得到y的增量：Δy2， Δy3， ， Δyn，最后，分别计算相应的坡度P2， P3， ， Pn。P1， P2， P3， ， Pn是对应于x的一系列增量Δx1， Δx2， Δx3， ， Δxn的平均坡度。如果要更为准确地反映某一“点A”的坡度，就必须将计算的范围，即Δx取得更小，更靠近这个“点A”。我们如此想象下去，Δx越来越小，那么Δy也会越来越小 最后得到的比值P＝Δy/Δx便可以表示“点A”的坡度了。
上述段落中所描述的便是使用微积分来计算斜率的思想。微积分是“微分”和“积分”的统称。所谓微分的意思就是说，将自变量的变化Δx变得微小又微小，直到“无限小”，而观察函数y是如何变化的。一般来说，y的变化Δy也会是一个“无限小”的量。但人们关心的是这两个“无限小”量的比值，即上面例子中所描述的山坡在点A的坡度P，或在一般情形下称之为曲线在该点的斜率P。我们将这个值P叫作函数y对x在给定点的微分，也叫作y对x的导数。
“无穷小”或“无限小”，是一个有趣又有用的概念。如我们本章开头所引用的大数学家希尔伯特的名言所说的那样，数学就是研究“无穷”的科学。希尔伯特还说过：“无穷！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。”的确如此，“无穷大”和“无穷小”这两个神秘而又令人困惑的词与现代数学，进而与现代科学技术紧紧地联系在一起。它们深刻地影响了人类的精神，激励着人类的智力。“无穷小”在人类的科学技术舞台上变换表演出各种精湛绝美的魔术，也就是我们将要在本章看到的“无穷小”的魔术。
生活中经常碰到的需要求函数的导数的例子是计算运动物体的速度。比如我们开车出外旅游，汽车行驶的距离s便是时间t的函数，汽车的速度v就是距离随着时间的增长率。速度v是不停变化的，所谓需要计算汽车在某个时刻的“瞬时速度”，也就是计算函数s对时间t在一个点上的导数。
从以上的介绍我们明白了，微分的方法可用来求变量的导数，计算函数的增长率、坡度、速度等。积分又有何用途呢？积分实际上是微分的逆运算，也就是说，从山坡的坡度反过来计算山坡的高度。或者说，知道汽车在所有点的瞬时速度，反过来计算汽车行驶的距离时，就需要用到积分（图1.3）。对简单函数，比如图1.3（a）所示的匀速运动，已知速度求距离很简单，只需要将速度乘时间即可，对应于图1.3（a）中阴影矩形的面积。然而，如果速度随时间不停变化，如图1.3（b）所示的变速运动，这时候需要计算面积的图形形状就不是简单的矩形了。那么，应该如何来计算一个任意形状的图形面积呢？积分的思想就是把这个图形分成n个狭窄的、宽度为Δx的长条，然后把所有长条的面积加起来，得到Sn。当这些长条的宽度Δx趋近于“无限小”时，Sn趋近的数值就等于曲线下形成的图形的面积，也就是速度函数的积分值，即距离。
图1.3 匀速运动和变速运动时的求积分运算
这种将变量的变化趋于“无限小”的想法，也就是所谓的“极限”概念，是微积分的基本思想。现在我们说起“极限”来，好像并不难理解。但是，从产生这种最初的极限思想开始，又将其发展概括，最后整理归纳为数学语言，人类每一步走过来，都历经了漫长的历史过程。下一节，笔者便带你简单地回顾极限概念的发展历史。
2. 阿基里斯能追上乌龟吗？
极限这个字眼激发我们无限的想象，首先让我们联想到的是人们常常说的一句话：“挑战极限。”不过，在数学上，极限有它独特的含义，表示的是一种数学量无限趋近某个固定数值。极限思想的萌芽阶段可以上溯到两千多年前。希腊哲学家芝诺（Zeno of Elea，公元前490~前430年）曾经提出一个著名的阿基里斯悖论，这就是古希腊极限萌芽意识的典型体现。
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄人物，参与了特洛伊战争，被称为“希腊第一勇士”。假设他跑步的速度为乌龟的10倍，比如说，阿基里斯每秒钟跑10m，乌龟每秒钟跑1m。出发时，乌龟在他前面100m处。按照我们每个人都具备的常识，阿基里斯很快就能追上并超过乌龟。我们可以简单地计算一下20s之后阿基里斯和乌龟在哪里？20s之后，阿基里斯跑到了离他出发点200m的地方，而乌龟呢，只在离它自己出发点的20m之处，也就是距阿基里斯出发点的120m之处，阿基里斯显然早就超过了它（图1.4）。
但是，从古至今的哲学家们都喜欢狡辩，芝诺说：“不对，阿基里斯永远都赶不上乌龟！”为什么呢？芝诺说，你看，开始的时候，乌龟超过阿基里斯100m，当阿基里斯跑了100m到了乌龟开始的位置时，乌龟已经向前爬了10m，这时候，乌龟超前阿基里斯10m；然后，我们就可以一直这样说下去：当阿基里斯又跑了10m后乌龟超前1米；下一时刻，乌龟超前0.1m；再下一刻，乌龟超前0.01m， 0.001m， 0.0001m 不管这个数值变得多么小，乌龟永远在阿基里斯前面。所以，阿基里斯不可能追上乌龟。
正如柏拉图所言，芝诺编出这样的悖论，或许是兴之所至而开的小玩笑。芝诺当然知道阿基里斯能够赶上乌龟，但他的狡辩听起来也似乎颇有道理，怎样才能反驳芝诺的悖论呢？
再仔细分析一下这个问题。将阿基里斯开始的位置设为0点，那时乌龟在阿基里斯前面100m，位置＝100m。我们可以计算一下在比赛开始（100/9）s之后，阿基里斯及乌龟的位置。阿基里斯跑了（1000/9）m，乌龟跑了（100/9）m，加上原来的100m，乌龟所在的位置＝（100/9＋100）m＝（1000/9）m，与阿基里斯在同一个位置，说明在（100/9）s的时候阿基里斯追上了乌龟。但是，按照悖论的逻辑，将这11s＋（1/9）s的时间间隔无限细分，给我们一种好像这段时间永远也过不完的印象。就好比说，你有1t的时间，过了一半，还有（1/2）t；又过了一半，还有（1/4）t；又过了一半，你还有（1/8）t， （1/16）t，（1/32）t 一直下去，好像这后面的半小时永远也过不完了，这当然与实际情况不符。事实上，无论你将这后面的半小时分
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