近二十年来, 随机过程由于其在数理金融等领域的应用而倍受关注, Merton 和 Scholes 在期权定价方面的工作获得诺贝尔奖之后更是如此。 因此作者觉得有必要对学生介绍随机过程的一些基本知识。 本书是为数学系本科高年级学生开设的随机过程选修课而写的,目的在于让他们对随机过程的经典问题和方法有一个初步的了解。 本书主要介绍Poisson过程、更新过程、随机游动、鞅以及Markov 链的基本理论。作为最简单的随机过程, 它们的研究有悠久的历史和直观自然的背景。实际上, 许多连续时间的随机过程的结论都可以在这些随机序列的经典结果中发现它们的影子。 第一章讲述概率论基础, 包括随机变量的收敛性以及条件期望、矩母函数、母函数等工具。 第二章介绍Poisson点过程, 主要介绍如何处理等待时间与队列问题, 并简单讨论了复合Poisson过程的实际背景。 第三章主要介绍的是一个基本更新定理, 也为后面的Markov链性质做些铺垫。同时提出随机游动, 也就是独立同分布随机变量的和, 将介绍一些经典的方法和问题。 第四章讲述随机过程的基本理论和存在性定理,使本书建立在一个坚实的基石之上。从逻辑角度考虑, 它是后面讨论 Markov 链所必需的,实际上给定转移函数的 Markov 链的存在性在直观上是自然的, 因此即使读者不能很好地理解这一章, 也不会影响对其它内容的理解。 第五章讨论离散时间 Markov 链的基本理论和经典方法, 它的研究一直是概率论中最为活跃的领域。还简要介绍早已有所论述但最近才被人关注的 Markov 链与电路网络的本质联系。 第六章将介绍鞅理论。从 某种意义上说, 鞅是随机游动的一个自然推广。比起随机游动, 鞅是较为现代的理论, 它的主要发展是在20世纪下半叶。 鞅在许多领域都有重要应用, 这里我们简单介绍鞅在金融理论中的应用, 也就是简二项期权定价。虽然简单, 但足以表达 Black-Schloes 及 Merton 理论的基本思想。 本书涉及的大部分内容可以说是简单直观, 解决其中的问题也不需要太多的数学工具,对稍有基础的读者来说不难理解。
何萍，上海财经大学数学学院教授、博士生导师。2001年3月获日本国立金泽大学理学博士学位，之后在复旦大学数学所博士后流动站从事博士后研究工作，2003年7月入职上海财经大学数学学院。曾访问美国华盛顿大学数学系，也多次访问日本参加学术会议、进行短期的学术交流。在《中国科学》《数学年刊》，美国的《概率年刊》《美国数学学会会报》，日本的《大阪数学志》等刊物发表多篇SCI检索论文。分别于2007年与2012年获得国家自然科学基金项目资助，均已结项。目前授课重点在本科《随机过程引论》和研究生《概率论与随机过程》,均获上海财经大学校级重点课程项目资助。
第一章 概率论述要………………………………………………………………………… 1 1.1 随机变量 ………………………………………………………………………… 1 1.1.1 概率空间……………………………………………………………… 1 1.1.2 分布…………………………………………………………………… 4 1.1.3 期望与方差…………………………………………………………… 5 1.1.4 例……………………………………………………………………… 6 1.2 随机向量………………………………………………………………………… 17 1.2.1 联合分布 …………………………………………………………… 17 1.2.2 协方差与协方差矩阵 ……………………………………………… 18 1.2.3 例 …………………………………………………………………… 18 1.3 极限定理………………………………………………………………………… 28 1.3.1 可积性与不等式 …………………………………………………… 28 1.3.2 Bernoulli大数定律 ………………………………………………… 29 1.3.3 Borel大数定律……………………………………………………… 30 1.3.4 中心极限定理 ……………………………………………………… 37 1.4 矩母函数及母函数……………………………………………………………… 38 习题一 …………………………………………………………………………………… 41 第二章 随机过程预备知识 ……………………………………………………………… 44 2.1 条件期望………………………………………………………………………… 44 2.1.1 事件域与可测性 …………………………………………………… 44 2.1.2 条件概率与条件期望 ……………………………………………… 46 2.1.3 理解条件期望 ……………………………………………………… 53 2.2 随机过程的定义及例…………………………………………………………… 57 2.2.1 定义 ………………………………………………………………… 57 2.2.2 样本轨道 …………………………………………………………… 59 2.2.3 常见的随机过程 …………………………………………………… 61 习题二 …………………………………………………………………………………… 64 第三章 离散时间马氏链 ………………………………………………………………… 67 3.1 随机游动………………………………………………………………………… 67 3.1.1 格点轨道与反射原理 ……………………………………………… 68 3.1.2 对称简单随机游动 ………………………………………………… 70 3.2 马氏链的基本定义……………………………………………………………… 75 3.3 Chapman-Kolmogorov方程与状态的分类 …………………………………… 82 3.3.1 Chapman-Kolmogorov方程 ……………………………………… 82 3.3.2 状态之间的关系 …………………………………………………… 83 3.3.3 状态的分类 ………………………………………………………… 84 3.4 P n 的极限性质与平稳分布 …………………………………………………… 96 3.4.1 基本极限定理 ……………………………………………………… 96 3.4.2 平稳分布 …………………………………………………………… 97 3.5 Galton-Watson分支过程 …………………………………………………… 104 习题三…………………………………………………………………………………… 108 第四章 Poisson过程 …………………………………………………………………… 114 4.1 预备知识 ……………………………………………………………………… 114 4.2 Poisson过程的定义…………………………………………………………… 116 4.3 来到间隔与等待时间的分布 ………………………………………………… 118 4.4 来到时间的条件分布 ………………………………………………………… 121 4.5 非齐次Poisson过程* ………………………………………………………… 126 4.6 复合Poisson过程 …………………………………………………………… 130 习题四…………………………………………………………………………………… 135 第五章 更新过程………………………………………………………………………… 140 5.1 基本定义 ……………………………………………………………………… 140 5.2 N(t)的分布与更新函数 ……………………………………………………… 141 5.2.1 N(t)的分布 ……………………………………………………… 141 5.2.2 更新函数…………………………………………………………… 142 5.3 极限定理与停时 ……………………………………………………………… 143 5.3.1 停时………………………………………………………………… 144 5.3.2 基本更新定理……………………………………………………… 146 5.4 关键更新定理及其应用* …………………………………………………… 148 5.4.1 更新定理…………………………………………………………… 148 5.4.2 关键更新定理的应用……………………………………………… 150 习题五…………………………………………………………………………………… 152 第六章 鞅………………………………………………………………………………… 155 6.1 公平游戏与鞅 ………………………………………………………………… 155 6.2 鞅基本定理 …………………………………………………………………… 158 6.2.1 停时………………………………………………………………… 160 6.2.2 Wald等式 ………………………………………………………… 161 6.2.3 首次通过时………………………………………………………… 162 6.3 在金融中的应用 ……………………………………………………………… 168 6.3.1 模型无关的定价定理……………………………………………… 168 6.3.2 二叉树模型………………………………………………………… 173 6.3.3 美式买入期权……………………………………………………… 175 习题六…………………………………………………………………………………… 176 第七章 Brown运动 ……………………………………………………………………… 178 7.1 Brown运动的定义 …………………………………………………………… 180 7.2 Brown运动的性质 …………………………………………………………… 180 7.3 Brown运动的其他性质 ……………………………………………………… 187 7.3.1 首中时与最大值变量……………………………………………… 187 7.3.2 反正弦律…………………………………………………………… 189 7.4 例 ……………………………………………………………………………… 190 7.5 粗糙轨道 ……………………………………………………………………… 193 7.6 Brown运动与鞅 ……………………………………………………………… 197 习题七…………………………………………………………………………………… 201 参考文献…………………………………………………………………………………… 203
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